微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ , $[- 8, 8]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 4 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} - 4$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} - 4$ です。

$x^{2} - 4$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{2} = 4$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 1.2.4

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 1.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 1.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 1.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 4 \cdot 2$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 8 - 4 \cdot 2$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{3} - 4 \cdot 2$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8}{3} - 8$

ステップ 1.4.1.2.2

$- 8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{8}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 1.4.1.2.3

$- 8$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 - 8 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.4.1.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.5.1

$- 8$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 - 24}{3}$

ステップ 1.4.1.2.5.2

$8$ から $24$ を引きます。

$\frac{- 16}{3}$

ステップ 1.4.1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16}{3}$

ステップ 1.4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot - 8 - 4 \cdot - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$\frac{1}{3}$ と $- 8$ をまとめます。

$\frac{- 8}{3} - 4 \cdot - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{3} - 4 \cdot - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{8}{3} + 8$

ステップ 1.4.2.2.2

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{8}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.3

$8$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{8}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 8 + 8 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.4.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.5.1

$8$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 8 + 24}{3}$

ステップ 1.4.2.2.5.2

$- 8$ と $24$ をたし算します。

$\frac{16}{3}$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, - \frac{16}{3}), (- 2, \frac{16}{3})$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 8$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 8$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{3} \cdot {(- 8)}^{3} - 4 \cdot - 8$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 8$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot - 512 - 4 \cdot - 8$

ステップ 2.1.2.1.2

$\frac{1}{3}$ と $- 512$ をまとめます。

$\frac{- 512}{3} - 4 \cdot - 8$

ステップ 2.1.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{512}{3} - 4 \cdot - 8$

ステップ 2.1.2.1.4

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$- \frac{512}{3} + 32$

ステップ 2.1.2.2

$32$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{512}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 2.1.2.3

$32$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{512}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3}$

ステップ 2.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 512 + 32 \cdot 3}{3}$

ステップ 2.1.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$32$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 512 + 96}{3}$

ステップ 2.1.2.5.2

$- 512$ と $96$ をたし算します。

$\frac{- 416}{3}$

ステップ 2.1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{416}{3}$

ステップ 2.2

$x = 8$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$8$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{3} \cdot {(8)}^{3} - 4 \cdot 8$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$8$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 512 - 4 \cdot 8$

ステップ 2.2.2.1.2

$\frac{1}{3}$ と $512$ をまとめます。

$\frac{512}{3} - 4 \cdot 8$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 4$ に $8$ をかけます。

$\frac{512}{3} - 32$

ステップ 2.2.2.2

$- 32$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{512}{3} - 32 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 2.2.2.3

$- 32$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{512}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3}$

ステップ 2.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{512 - 32 \cdot 3}{3}$

ステップ 2.2.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.1

$- 32$ に $3$ をかけます。

$\frac{512 - 96}{3}$

ステップ 2.2.2.5.2

$512$ から $96$ を引きます。

$\frac{416}{3}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 8, - \frac{416}{3}), (8, \frac{416}{3})$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(8, \frac{416}{3})$

最小値： $(- 8, - \frac{416}{3})$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例