微分積分例

$f (x) = \sin (2 x) + 3$ , $[- π, π]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\sin (2 x) + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.2.5

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 \cos (2 x) + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$2 \cos (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 \cos (2 x)$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 \cos (2 x)$ です。

$2 \cos (2 x)$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 \cos (2 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 \cos (2 x) = 0$

ステップ 1.2.2

$2 \cos (2 x) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$2 \cos (2 x) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$\cos (2 x) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (0)$

ステップ 1.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.5

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 1.2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 1.2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 1.2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.5.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.5.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 1.2.6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.7

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.7.1

簡約します。

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ステップ 1.2.7.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.7.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 1.2.7.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 1.2.7.1.5

$4 π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.2.7.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.7.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 1.2.7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.7.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 1.2.7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 1.2.7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.7.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.7.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.7.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.7.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 1.2.8

$\cos (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.8.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 1.2.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 1.2.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 1.2.8.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 1.2.9

$\cos (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.10

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sin (2 x) + 3$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = \frac{π}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$\frac{π}{4}$ を $x$ に代入します。

$\sin (2 (\frac{π}{4})) + 3$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\sin (2 \frac{π}{2 (2)}) + 3$

ステップ 1.4.1.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) + 3$

ステップ 1.4.1.2.1.1.3

式を書き換えます。

$\sin (\frac{π}{2}) + 3$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$1 + 3$

ステップ 1.4.1.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$4$

ステップ 1.4.2

$x = \frac{3 π}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$\frac{3 π}{4}$ を $x$ に代入します。

$\sin (2 (\frac{3 π}{4})) + 3$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\sin (2 \frac{3 π}{2 (2)}) + 3$

ステップ 1.4.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2}) + 3$

ステップ 1.4.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$\sin (\frac{3 π}{2}) + 3$

ステップ 1.4.2.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \sin (\frac{π}{2}) + 3$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1 + 3$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 3$

ステップ 1.4.2.2.2

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{π}{4} + π n, 4), (\frac{3 π}{4} + π n, 2)$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(- \frac{3 π}{4}, 4), (\frac{π}{4}, 4), (- \frac{π}{4}, 2), (\frac{3 π}{4}, 2)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = - π$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- π$ を $x$ に代入します。

$\sin (2 (- π)) + 3$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sin (- 2 π) + 3$

ステップ 3.1.2.1.2

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$\sin (0) + 3$

ステップ 3.1.2.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 + 3$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$3$

ステップ 3.2

$x = π$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$π$ を $x$ に代入します。

$\sin (2 (π)) + 3$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\sin (0) + 3$

ステップ 3.2.2.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 + 3$

ステップ 3.2.2.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$3$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(- π, 3), (π, 3)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- \frac{3 π}{4}, 4), (\frac{π}{4}, 4)$

最小値： $(- \frac{π}{4}, 2), (\frac{3 π}{4}, 2)$

ステップ 5

微分積分 例

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