微分積分例

$h (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ , $0 < x < 2 π$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.1

項を並べ替えます。

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.1.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.1.4.2.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$f' (x) = \sin (2 x) - \sin (x)$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $h (x)$ の一次導関数は $\sin (2 x) - \sin (x)$ です。

$\sin (2 x) - \sin (x)$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\sin (2 x) - \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

ステップ 1.2.2

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 1.2.3

$\sin (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.3.1

$\sin (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

ステップ 1.2.3.2

$\sin (x)$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2.3.3

$\sin (x)$ を $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

ステップ 1.2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 1.2.5

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 1.2.5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.2.5.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 1.2.5.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 1.2.5.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.5.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.6

$2 \cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.1

$2 \cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 1.2.6.2

$x$ について $2 \cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 \cos (x) = 1$

ステップ 1.2.6.2.2

$2 \cos (x) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.2.1

$2 \cos (x) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 1.2.6.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 1.2.6.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 1.2.6.2.6

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 1.2.6.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.6.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 1.2.6.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 1.2.6.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.6.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 1.2.6.2.6.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 1.2.6.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.6.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.6.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.2.6.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.2.6.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.2.6.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.7

最終解は $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2.8

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\sin^{2} (0) + \cos (0)$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0^{2} + \cos (0)$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + \cos (0)$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 1$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.4.2

$x = π$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$π$ を $x$ に代入します。

$\sin^{2} (π) + \cos (π)$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\sin^{2} (0) + \cos (π)$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0^{2} + \cos (π)$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + \cos (π)$

ステップ 1.4.2.2.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$0 - \cos (0)$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.4.2.2.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 1.4.2.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.4.3

$x = \frac{π}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.3.1

$\frac{π}{3}$ を $x$ に代入します。

$\sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.3.2.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.4.3.2.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.4.3.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.3.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.4.3.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.4.3.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.4.3.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3^{1}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.4.3.2.1.3.5

指数を求めます。

$\frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.4.3.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.4.3.2.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

ステップ 1.4.3.2.2

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 1.4.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.4.3.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.4.3.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

ステップ 1.4.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 + 2}{4}$

ステップ 1.4.3.2.5

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{5}{4}$

ステップ 1.4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1), (\frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5}{4})$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(π, - 1), (\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

ステップ 3

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 3.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

ステップ 3.2

一次導関数 $\sin (2 x) - \sin (x)$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$h' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - \sin (- 2)$

ステップ 3.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$h' (- 2) = \sin (- 4) - \sin (- 2)$

ステップ 3.2.2.1.2

$\sin (- 4)$ の値を求めます。

$h' (- 2) = 0.75680249 - \sin (- 2)$

ステップ 3.2.2.1.3

$\sin (- 2)$ の値を求めます。

$h' (- 2) = 0.75680249 + 0.90929742$

ステップ 3.2.2.1.4

$- 1$ に $- 0.90929742$ をかけます。

$h' (- 2) = 0.75680249 + 0.90929742$

ステップ 3.2.2.2

$0.75680249$ と $0.90929742$ をたし算します。

$h' (- 2) = 1.66609992$

ステップ 3.2.2.3

最終的な答えは $1.66609992$ です。

$1.66609992$

ステップ 3.3

一次導関数 $\sin (2 x) - \sin (x)$ の区間 $(0, \frac{π}{3})$ から $1$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$h' (1) = \sin (2 (1)) - \sin (1)$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$h' (1) = \sin (2) - \sin (1)$

ステップ 3.3.2.1.2

$\sin (2)$ の値を求めます。

$h' (1) = 0.90929742 - \sin (1)$

ステップ 3.3.2.1.3

$\sin (1)$ の値を求めます。

$h' (1) = 0.90929742 - 1 \cdot 0.84147098$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 1$ に $0.84147098$ をかけます。

$h' (1) = 0.90929742 - 0.84147098$

ステップ 3.3.2.2

$0.90929742$ から $0.84147098$ を引きます。

$h' (1) = 0.06782644$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $0.06782644$ です。

$0.06782644$

ステップ 3.4

一次導関数 $\sin (2 x) - \sin (x)$ の区間 $(\frac{π}{3}, π)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$h' (2) = \sin (2 (2)) - \sin (2)$

ステップ 3.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$h' (2) = \sin (4) - \sin (2)$

ステップ 3.4.2.1.2

$\sin (4)$ の値を求めます。

$h' (2) = - 0.75680249 - \sin (2)$

ステップ 3.4.2.1.3

$\sin (2)$ の値を求めます。

$h' (2) = - 0.75680249 - 1 \cdot 0.90929742$

ステップ 3.4.2.1.4

$- 1$ に $0.90929742$ をかけます。

$h' (2) = - 0.75680249 - 0.90929742$

ステップ 3.4.2.2

$- 0.75680249$ から $0.90929742$ を引きます。

$h' (2) = - 1.66609992$

ステップ 3.4.2.3

最終的な答えは $- 1.66609992$ です。

$- 1.66609992$

ステップ 3.5

一次導関数 $\sin (2 x) - \sin (x)$ の区間 $(π, 2 π)$ から $5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$h' (5) = \sin (2 (5)) - \sin (5)$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

$2$ に $5$ をかけます。

$h' (5) = \sin (10) - \sin (5)$

ステップ 3.5.2.1.2

$\sin (10)$ の値を求めます。

$h' (5) = - 0.54402111 - \sin (5)$

ステップ 3.5.2.1.3

$\sin (5)$ の値を求めます。

$h' (5) = - 0.54402111 + 0.95892427$

ステップ 3.5.2.1.4

$- 1$ に $- 0.95892427$ をかけます。

$h' (5) = - 0.54402111 + 0.95892427$

ステップ 3.5.2.2

$- 0.54402111$ と $0.95892427$ をたし算します。

$h' (5) = 0.41490316$

ステップ 3.5.2.3

最終的な答えは $0.41490316$ です。

$0.41490316$

ステップ 3.6

一次導関数 $\sin (2 x) - \sin (x)$ の区間 $(2 π, \infty)$ から $9$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.6.1

式の変数 $x$ を $9$ で置換えます。

$h' (9) = \sin (2 (9)) - \sin (9)$

ステップ 3.6.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1.1

$2$ に $9$ をかけます。

$h' (9) = \sin (18) - \sin (9)$

ステップ 3.6.2.1.2

$\sin (18)$ の値を求めます。

$h' (9) = - 0.75098724 - \sin (9)$

ステップ 3.6.2.1.3

$\sin (9)$ の値を求めます。

$h' (9) = - 0.75098724 - 1 \cdot 0.41211848$

ステップ 3.6.2.1.4

$- 1$ に $0.41211848$ をかけます。

$h' (9) = - 0.75098724 - 0.41211848$

ステップ 3.6.2.2

$- 0.75098724$ から $0.41211848$ を引きます。

$h' (9) = - 1.16310573$

ステップ 3.6.2.3

最終的な答えは $- 1.16310573$ です。

$- 1.16310573$

ステップ 3.7

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 3.8

$x = \frac{π}{3}$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = \frac{π}{3}$ は極大値です。

$x = \frac{π}{3}$ は極大値です

ステップ 3.9

$x = π$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = π$ は極小値です。

$x = π$ は極小値です

ステップ 3.10

$x = 2 π$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 2 π$ は極大値です。

$x = 2 π$ は極大値です

ステップ 3.11

$h (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ の極値です。

$x = \frac{π}{3}$ は極大値です

$x = π$ は極小値です

$x = 2 π$ は極大値です

$x = \frac{π}{3}$ は極大値です

$x = π$ は極小値です

$x = 2 π$ は極大値です

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $h (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $h (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $h (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

最小値： $(π, - 1)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例