微分積分例

$f (x) = 4 x^{\frac{2}{3}}$ , $[- 1, 1]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

ステップ 1.1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 1.1.1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

ステップ 1.1.1.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 1.1.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$4 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.1.8

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$4 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.1.1.9

$4$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{4 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

ステップ 1.1.1.10

掛け算します。

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ステップ 1.1.1.10.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.1.1.10.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$8 = 0$

ステップ 1.2.3

$8 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 1.3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

ステップ 1.3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{x}}$

ステップ 1.3.2

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

ステップ 1.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1

積の法則を $3 x^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 x^{1} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.4

簡約します。

$27 x = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 x = 0$

ステップ 1.3.3.3

$27 x = 0$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.1

$27 x = 0$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 1.3.3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{27}$

ステップ 1.3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.3.3.1

$0$ を $27$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 x^{\frac{2}{3}}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$4 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$4 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 1.4.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$4 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

式を書き換えます。

$4 \cdot 0^{2}$

ステップ 1.4.1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 \cdot 0$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$4$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$4 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 2.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 2.1.2.2.2

式を書き換えます。

$4 {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$4 \cdot 1$

ステップ 2.1.2.3.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 2.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$4 {(1)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, 4), (1, 4)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 1, 4), (1, 4)$

最小値： $(0, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

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