微分積分例

$f (x) = 4 \sqrt{x} + 5$ , $[4, 7]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $4 \sqrt{x} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.6

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.10

$4$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.12

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.13

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.13.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.13.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 1.2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 1.3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

ステップ 1.3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{2}{\sqrt{x}}$

ステップ 1.3.2

$\frac{2}{\sqrt{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{x} = 0$

ステップ 1.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

簡約します。

$x = 0^{2}$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 1.3.4

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 1.3.5

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 \sqrt{x} + 5$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$4 \sqrt{0} + 5$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

括弧を削除します。

$4 \sqrt{0} + 5$

ステップ 1.4.1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$4 \sqrt{0^{2}} + 5$

ステップ 1.4.1.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4 \cdot 0 + 5$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$4$ に $0$ をかけます。

$0 + 5$

ステップ 1.4.1.2.3

$0$ と $5$ をたし算します。

$5$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 5)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$4$ を $x$ に代入します。

$4 \sqrt{4} + 5$

ステップ 3.1.2

簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

括弧を削除します。

$4 \sqrt{4} + 5$

ステップ 3.1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 \sqrt{2^{2}} + 5$

ステップ 3.1.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$4 \cdot 2 + 5$

ステップ 3.1.2.2.3

$4$ に $2$ をかけます。

$8 + 5$

ステップ 3.1.2.3

$8$ と $5$ をたし算します。

$13$

ステップ 3.2

$x = 7$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$7$ を $x$ に代入します。

$4 \sqrt{7} + 5$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$4 \sqrt{7} + 5$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(4, 13), (7, 4 \sqrt{7} + 5)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(7, 4 \sqrt{7} + 5)$

最小値： $(4, 13)$

ステップ 5

微分積分 例

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