微分積分例

$f (x) = x^{2} - 4$ , $(- 1, 2)$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.1.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x$ です。

$2 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 1.2.2

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} - 4$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 4$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 4)$

ステップ 2

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 2.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 2.2

一次導関数 $2 x$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 2 (- 2)$

ステップ 2.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = - 4$

ステップ 2.2.2.2

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 2.3

一次導関数 $2 x$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 2 (2)$

ステップ 2.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = 4$

ステップ 2.3.2.2

最終的な答えは $4$ です。

$4$

ステップ 2.4

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 0$ は極小値です。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

絶対最大値はありません

最小値： $(0, - 4)$

ステップ 4

微分積分 例

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