微分積分例

$f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ , $[- 4, 4]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 18 x^{2} + 81$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x^{2}$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 18$ をかけます。

$4 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [81]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$81$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $81$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 36 x + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$4 x^{3} - 36 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 36 x$ です。

$4 x^{3} - 36 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 36 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 36 x = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$4 x$ を $- 36 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 1.2.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 1.2.2.3

因数分解。

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ステップ 1.2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 1.2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 1.2.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 1.2.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 1.2.7

最終解は $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3, 3$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} - 18 x^{2} + 81$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{4} - 18 {(0)}^{2} + 81$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 18 {(0)}^{2} + 81$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 18 \cdot 0 + 81$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 18$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 81$

ステップ 1.4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 81$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ と $81$ をたし算します。

$81$

ステップ 1.4.2

$x = - 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

${(- 3)}^{4} - 18 {(- 3)}^{2} + 81$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$- 3$ を $4$ 乗します。

$81 - 18 {(- 3)}^{2} + 81$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$81 - 18 \cdot 9 + 81$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$- 18$ に $9$ をかけます。

$81 - 162 + 81$

ステップ 1.4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$81$ から $162$ を引きます。

$- 81 + 81$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$- 81$ と $81$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4.3

$x = 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$3$ を $x$ に代入します。

${(3)}^{4} - 18 {(3)}^{2} + 81$

ステップ 1.4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$81 - 18 {(3)}^{2} + 81$

ステップ 1.4.3.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$81 - 18 \cdot 9 + 81$

ステップ 1.4.3.2.1.3

$- 18$ に $9$ をかけます。

$81 - 162 + 81$

ステップ 1.4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.2.1

$81$ から $162$ を引きます。

$- 81 + 81$

ステップ 1.4.3.2.2.2

$- 81$ と $81$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 81), (- 3, 0), (3, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 4$ を $x$ に代入します。

${(- 4)}^{4} - 18 {(- 4)}^{2} + 81$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$256 - 18 {(- 4)}^{2} + 81$

ステップ 2.1.2.1.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$256 - 18 \cdot 16 + 81$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 18$ に $16$ をかけます。

$256 - 288 + 81$

ステップ 2.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$256$ から $288$ を引きます。

$- 32 + 81$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 32$ と $81$ をたし算します。

$49$

ステップ 2.2

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

${(4)}^{4} - 18 {(4)}^{2} + 81$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$4$ を $4$ 乗します。

$256 - 18 {(4)}^{2} + 81$

ステップ 2.2.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$256 - 18 \cdot 16 + 81$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 18$ に $16$ をかけます。

$256 - 288 + 81$

ステップ 2.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$256$ から $288$ を引きます。

$- 32 + 81$

ステップ 2.2.2.2.2

$- 32$ と $81$ をたし算します。

$49$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 4, 49), (4, 49)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, 81)$

最小値： $(- 3, 0), (3, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

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