微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$ , $[0, 3]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$x^{2} - x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} - x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.9

$2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.4

$- x \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 1.1.1.3.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.1.3.2.2.1

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.2.2

$x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.2

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$f' (x) = \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ です。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$(1 + x) (1 - x) = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

ステップ 1.2.3.2

$1 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.2.1

$1 + x$ が $0$ に等しいとします。

$1 + x = 0$

ステップ 1.2.3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.3.3

$1 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.3.1

$1 - x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - x = 0$

ステップ 1.2.3.3.2

$x$ について $1 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.3.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 1.2.3.3.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.3.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 1.2.3.4

最終解は $(1 + x) (1 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 1}{1 - (- 1) + 1}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 1}{1 + 1 + 1}$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1}{2 + 1}$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1}{3}$

ステップ 1.4.1.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{3}$

ステップ 1.4.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{{(1)}^{2} - (1) + 1}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{1 - (1) + 1}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{1 - 1 + 1}$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{0 + 1}$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{1}$

ステップ 1.4.2.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, - \frac{1}{3}), (1, 1)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(1, 1)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

ステップ 3.1.2

簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0 - (0) + 1}$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

ステップ 3.1.2.1.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0 + 1}$

ステップ 3.1.2.1.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{1}$

ステップ 3.1.2.2

$0$ を $1$ で割ります。

$0$

ステップ 3.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

$\frac{3}{{(3)}^{2} - (3) + 1}$

ステップ 3.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{3}{9 - (3) + 1}$

ステップ 3.2.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3}{9 - 3 + 1}$

ステップ 3.2.2.3

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{3}{6 + 1}$

ステップ 3.2.2.4

$6$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3}{7}$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (3, \frac{3}{7})$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(1, 1)$

最小値： $(0, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例