微分積分例

$f (x) = x^{2} - 2 x + 6$ , $(0, 3)$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 2 + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x - 2$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x - 2$ です。

$2 x - 2$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x - 2 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$2 x = 2$

ステップ 1.2.3

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{2}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} - 2 x + 6$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 6$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 2 \cdot 1 + 6$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 + 6$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1 + 6$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$5$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(1, 5)$

ステップ 2

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 2.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 2.2

一次導関数 $2 x - 2$ の区間 $(- \infty, 1)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 2 (0) - 2$

ステップ 2.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 2$

ステップ 2.2.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$f' (0) = - 2$

ステップ 2.2.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 2.3

一次導関数 $2 x - 2$ の区間 $(1, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 2.3.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 2 (4) - 2$

ステップ 2.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = 8 - 2$

ステップ 2.3.2.2

$8$ から $2$ を引きます。

$f' (4) = 6$

ステップ 2.3.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 2.4

$x = 1$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 1$ は極小値です。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

絶対最大値はありません

最小値： $(1, 5)$

ステップ 4

微分積分 例

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