微分積分例

$f (x) = x^{2} + x - 4$ , $[0, 8]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{2} + x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.1.1.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 1 + 0$

ステップ 1.1.1.5

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x + 1$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x + 1$ です。

$2 x + 1$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 1.2.3

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{2} + x - 4$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = - \frac{1}{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- \frac{1}{2}$ を $x$ に代入します。

${(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

括弧を削除します。

${(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.2.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.2.5

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.3

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} - 4$

ステップ 1.4.1.2.3.3

$- 4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

ステップ 1.4.1.2.3.4

$\frac{- 4}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 1.4.1.2.3.5

$\frac{- 4}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

ステップ 1.4.1.2.3.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

ステップ 1.4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 2 - 4 \cdot 4}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\frac{1 - 2 - 16}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 1 - 16}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5.3

$- 1$ から $16$ を引きます。

$\frac{- 17}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{17}{4}$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{1}{2}, - \frac{17}{4})$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{2} + 0 - 4$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

括弧を削除します。

${(0)}^{2} + 0 - 4$

ステップ 3.1.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 - 4$

ステップ 3.1.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 4$

ステップ 3.1.2.4

$0$ から $4$ を引きます。

$- 4$

ステップ 3.2

$x = 8$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$8$ を $x$ に代入します。

${(8)}^{2} + 8 - 4$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

括弧を削除します。

${(8)}^{2} + 8 - 4$

ステップ 3.2.2.2

$8$ を $2$ 乗します。

$64 + 8 - 4$

ステップ 3.2.2.3

$64$ と $8$ をたし算します。

$72 - 4$

ステップ 3.2.2.4

$72$ から $4$ を引きます。

$68$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 4), (8, 68)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(8, 68)$

最小値： $(0, - 4)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例