微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ , $(- 3, 6)$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 6 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.4.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x - 36 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.5.1

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 36 + 0$

ステップ 1.1.1.5.2

$6 x^{2} + 6 x - 36$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 36$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} + 6 x - 36$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 36$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} + 6 x - 36 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$6$ を $6 x^{2} + 6 x - 36$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 x - 36 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 36 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$6$ を $- 36$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 6 = 0$

ステップ 1.2.2.1.4

$6$ を $6 (x^{2}) + 6 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 6 = 0$

ステップ 1.2.2.1.5

$6$ を $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 6$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + x - 6) = 0$

ステップ 1.2.2.2

因数分解。

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ステップ 1.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 1.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x - 2) (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (x - 2) (x + 3) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 1.2.6

最終解は $6 (x - 2) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 3$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$2 {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

指数を足して $2$ に ${(2)}^{3}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1.2.1.1.1

$2$ に ${(2)}^{3}$ をかけます。

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ステップ 1.4.1.2.1.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$2^{1} {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

ステップ 1.4.1.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{1 + 3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

ステップ 1.4.1.2.1.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$2^{4} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$2$ を $4$ 乗します。

$16 + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$16 + 3 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 7$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$3$ に $4$ をかけます。

$16 + 12 - 36 \cdot 2 + 7$

ステップ 1.4.1.2.1.5

$- 36$ に $2$ をかけます。

$16 + 12 - 72 + 7$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$16$ と $12$ をたし算します。

$28 - 72 + 7$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$28$ から $72$ を引きます。

$- 44 + 7$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$- 44$ と $7$ をたし算します。

$- 37$

ステップ 1.4.2

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

$2 {(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$2$ に $- 27$ をかけます。

$- 54 + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$- 54 + 3 \cdot 9 - 36 \cdot - 3 + 7$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$3$ に $9$ をかけます。

$- 54 + 27 - 36 \cdot - 3 + 7$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$- 36$ に $- 3$ をかけます。

$- 54 + 27 + 108 + 7$

ステップ 1.4.2.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$- 54$ と $27$ をたし算します。

$- 27 + 108 + 7$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$- 27$ と $108$ をたし算します。

$81 + 7$

ステップ 1.4.2.2.2.3

$81$ と $7$ をたし算します。

$88$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, - 37), (- 3, 88)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(2, - 37)$

ステップ 3

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 3.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 3.2

一次導関数 $6 x^{2} + 6 x - 36$ の区間 $(- \infty, - 3)$ から $- 6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f' (- 6) = 6 {(- 6)}^{2} + 6 (- 6) - 36$

ステップ 3.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f' (- 6) = 6 \cdot 36 + 6 (- 6) - 36$

ステップ 3.2.2.1.2

$6$ に $36$ をかけます。

$f' (- 6) = 216 + 6 (- 6) - 36$

ステップ 3.2.2.1.3

$6$ に $- 6$ をかけます。

$f' (- 6) = 216 - 36 - 36$

ステップ 3.2.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$216$ から $36$ を引きます。

$f' (- 6) = 180 - 36$

ステップ 3.2.2.2.2

$180$ から $36$ を引きます。

$f' (- 6) = 144$

ステップ 3.2.2.3

最終的な答えは $144$ です。

$144$

ステップ 3.3

一次導関数 $6 x^{2} + 6 x - 36$ の区間 $(- 3, 2)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 6 {(0)}^{2} + 6 (0) - 36$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 6 \cdot 0 + 6 (0) - 36$

ステップ 3.3.2.1.2

$6$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 6 (0) - 36$

ステップ 3.3.2.1.3

$6$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 - 36$

ステップ 3.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 - 36$

ステップ 3.3.2.2.2

$0$ から $36$ を引きます。

$f' (0) = - 36$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $- 36$ です。

$- 36$

ステップ 3.4

一次導関数 $6 x^{2} + 6 x - 36$ の区間 $(2, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.4.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 6 {(4)}^{2} + 6 (4) - 36$

ステップ 3.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = 6 \cdot 16 + 6 (4) - 36$

ステップ 3.4.2.1.2

$6$ に $16$ をかけます。

$f' (4) = 96 + 6 (4) - 36$

ステップ 3.4.2.1.3

$6$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = 96 + 24 - 36$

ステップ 3.4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$96$ と $24$ をたし算します。

$f' (4) = 120 - 36$

ステップ 3.4.2.2.2

$120$ から $36$ を引きます。

$f' (4) = 84$

ステップ 3.4.2.3

最終的な答えは $84$ です。

$84$

ステップ 3.5

$x = - 3$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - 3$ は極大値です。

$x = - 3$ は極大値です

ステップ 3.6

$x = 2$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 2$ は極小値です。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 3.7

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ の極値です。

$x = - 3$ は極大値です

$x = 2$ は極小値です

$x = - 3$ は極大値です

$x = 2$ は極小値です

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

絶対最大値はありません

最小値： $(2, - 37)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例