微分積分例

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 14$ , $[- 2, 3]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 14$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [24 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 18 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 14]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 18 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 14]$

ステップ 1.1.1.3.3

$24$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 18 x + 24 + \frac{d}{d x} [- 14]$

ステップ 1.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.4.1

$- 14$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 14$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 18 x + 24 + 0$

ステップ 1.1.1.4.2

$3 x^{2} - 18 x + 24$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 24$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 18 x + 24$ です。

$3 x^{2} - 18 x + 24$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$3$ を $3 x^{2} - 18 x + 24$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 18 x + 24 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$3$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 24 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$3$ を $24$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 8 = 0$

ステップ 1.2.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 8 = 0$

ステップ 1.2.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 8$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

ステップ 1.2.2.2

因数分解。

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ステップ 1.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x + 8$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 6$ です。

$- 4, - 2$

ステップ 1.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 4) (x - 2) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 1.2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.2.6

最終解は $3 (x - 4) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, 2$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 14$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$4$ を $x$ に代入します。

${(4)}^{3} - 9 {(4)}^{2} + 24 (4) - 14$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$4$ を $3$ 乗します。

$64 - 9 {(4)}^{2} + 24 (4) - 14$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$64 - 9 \cdot 16 + 24 (4) - 14$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 9$ に $16$ をかけます。

$64 - 144 + 24 (4) - 14$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$24$ に $4$ をかけます。

$64 - 144 + 96 - 14$

ステップ 1.4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$64$ から $144$ を引きます。

$- 80 + 96 - 14$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$- 80$ と $96$ をたし算します。

$16 - 14$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$16$ から $14$ を引きます。

$2$

ステップ 1.4.2

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 24 (2) - 14$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 9 {(2)}^{2} + 24 (2) - 14$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 9 \cdot 4 + 24 (2) - 14$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$- 9$ に $4$ をかけます。

$8 - 36 + 24 (2) - 14$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$24$ に $2$ をかけます。

$8 - 36 + 48 - 14$

ステップ 1.4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$8$ から $36$ を引きます。

$- 28 + 48 - 14$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$- 28$ と $48$ をたし算します。

$20 - 14$

ステップ 1.4.2.2.2.3

$20$ から $14$ を引きます。

$6$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(4, 2), (2, 6)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(2, 6)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = - 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

${(- 2)}^{3} - 9 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 14$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 - 9 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 14$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 8 - 9 \cdot 4 + 24 (- 2) - 14$

ステップ 3.1.2.1.3

$- 9$ に $4$ をかけます。

$- 8 - 36 + 24 (- 2) - 14$

ステップ 3.1.2.1.4

$24$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 - 36 - 48 - 14$

ステップ 3.1.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$- 8$ から $36$ を引きます。

$- 44 - 48 - 14$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 44$ から $48$ を引きます。

$- 92 - 14$

ステップ 3.1.2.2.3

$- 92$ から $14$ を引きます。

$- 106$

ステップ 3.2

$x = 3$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

${(3)}^{3} - 9 {(3)}^{2} + 24 (3) - 14$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$27 - 9 {(3)}^{2} + 24 (3) - 14$

ステップ 3.2.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$27 - 9 \cdot 9 + 24 (3) - 14$

ステップ 3.2.2.1.3

$- 9$ に $9$ をかけます。

$27 - 81 + 24 (3) - 14$

ステップ 3.2.2.1.4

$24$ に $3$ をかけます。

$27 - 81 + 72 - 14$

ステップ 3.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$27$ から $81$ を引きます。

$- 54 + 72 - 14$

ステップ 3.2.2.2.2

$- 54$ と $72$ をたし算します。

$18 - 14$

ステップ 3.2.2.2.3

$18$ から $14$ を引きます。

$4$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, - 106), (3, 4)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(2, 6)$

最小値： $(- 2, - 106)$

ステップ 5

微分積分 例

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