微分積分例

$f (x) = \frac{9}{x - 1}$ , $[1, 4]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{9}{x - 1}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$ です。

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$\frac{1}{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$9 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$9 (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$- 9 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 1.1.1.3.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.1.1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + 0)$

ステップ 1.1.1.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.5.2

$- 9$ に $1$ をかけます。

$- 9 {(x - 1)}^{- 2}$

ステップ 1.1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 9 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

$- 9$ と $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 9}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ です。

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$9 = 0$

ステップ 1.2.3

$9 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.3.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{9}{x - 1}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{9}{(1) - 1}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{9}{0}$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{9}{(1) - 1}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{9}{0}$

ステップ 2.1.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 2.2

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$\frac{9}{(4) - 1}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{9}{3}$

ステップ 2.2.2.2

$9$ を $3$ で割ります。

$3$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(4, 3)$

ステップ 3

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

絶対最大値はありません

最小値： $(4, 3)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例