微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ , $[- 36, 36]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{2} - 36$ および $g (x) = x^{2} + 36$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ です。

$\frac{(x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + 0) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4.2

$2$ を $x^{2} + 36$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

総和則では、 $x^{2} + 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.7

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.5.1

$2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.5.1.1

$2 x^{2} x$ から $2 x^{2} x$ を引きます。

$\frac{2 \cdot 36 x + 0 - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.1.2

$2 \cdot 36 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 36 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.5.2.1

$2$ に $36$ をかけます。

$\frac{72 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.2.2

$- 2$ に $- 36$ をかけます。

$\frac{72 x + 72 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.3

$72 x$ と $72 x$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ です。

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$144 x = 0$

ステップ 1.2.3

$144 x = 0$ の各項を $144$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$144 x = 0$ の各項を $144$ で割ります。

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{144}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$0$ を $144$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(0)}^{2} - 36}{{(0)}^{2} + 36}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0 - 36}{0^{2} + 36}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ から $36$ を引きます。

$\frac{- 36}{0^{2} + 36}$

ステップ 1.4.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{- 36}{0 + 36}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ と $36$ をたし算します。

$\frac{- 36}{36}$

ステップ 1.4.1.2.3

$- 36$ を $36$ で割ります。

$- 1$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 1)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = - 36$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 36$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{{(- 36)}^{2} + 36}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

${(- 36)}^{2} - 36$ と ${(- 36)}^{2} + 36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.1

$- 1$ を ${(- 36)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) + 36}$

ステップ 2.1.2.1.1.2

$36$ を $- 1 (- 36)$ に書き換えます。

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)}$

ステップ 2.1.2.1.1.3

$- 1$ を $- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)$ で因数分解します。

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

ステップ 2.1.2.1.1.4

$- 36$ を ${(- 36)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

ステップ 2.1.2.1.1.5

$- 36$ を $- 36$ で因数分解します。

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36 (1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

ステップ 2.1.2.1.1.6

$- 36$ を $- 36 \cdot - 36 - 36 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

ステップ 2.1.2.1.1.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1.7.1

$- 36$ を $- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)$ で因数分解します。

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

ステップ 2.1.2.1.1.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

ステップ 2.1.2.1.1.7.3

式を書き換えます。

$\frac{- 36 + 1}{- 1 (- - 36 + 1)}$

ステップ 2.1.2.1.2

$- 36$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 35}{- 1 (- - 36 + 1)}$

ステップ 2.1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- 1$ に $- 36$ をかけます。

$\frac{- 35}{- 1 (36 + 1)}$

ステップ 2.1.2.2.2

$36$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 35}{- 1 \cdot 37}$

ステップ 2.1.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$- 1$ に $37$ をかけます。

$\frac{- 35}{- 37}$

ステップ 2.1.2.3.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{35}{37}$

ステップ 2.2

$x = 36$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$36$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(36)}^{2} - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${(36)}^{2} - 36$ と ${(36)}^{2} + 36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$- 1$ を ${(36)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

ステップ 2.2.2.1.2

$- 36$ を $- 1 (36)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)}{{(36)}^{2} + 36}$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 1$ を $- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2} + 36)}{{(36)}^{2} + 36}$

ステップ 2.2.2.1.4

$36$ を $- 1 (- 36^{2} + 36)$ で因数分解します。

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36^{2} + 36}$

ステップ 2.2.2.1.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.5.1

$36$ を $36^{2}$ で因数分解します。

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36}$

ステップ 2.2.2.1.5.2

$36$ を $36$ で因数分解します。

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36 (1)}$

ステップ 2.2.2.1.5.3

$36$ を $36 \cdot 36 + 36 (1)$ で因数分解します。

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

ステップ 2.2.2.1.5.4

共通因数を約分します。

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

ステップ 2.2.2.1.5.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 36 + 1)}{36 + 1}$

ステップ 2.2.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$- 1$ に $36$ をかけます。

$\frac{- 1 (- 36 + 1)}{36 + 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

$- 36$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot - 35}{36 + 1}$

ステップ 2.2.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.1

$36$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot - 35}{37}$

ステップ 2.2.2.3.2

$- 1$ に $- 35$ をかけます。

$\frac{35}{37}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

最小値： $(0, - 1)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例