微分積分例

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ , $[1, 5]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - x^{- 2}$

ステップ 1.1.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ です。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

ステップ 1.2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

ステップ 1.2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 1.2.4

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.4.1

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 1.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - x^{2}$

ステップ 1.2.5

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

方程式を $- x^{2} = - 1$ として書き換えます。

$- x^{2} = - 1$

ステップ 1.2.5.2

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 1.2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 1.2.5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 1.2.5.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 1.2.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 1.2.5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x + \frac{1}{x}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$(1) + \frac{1}{1}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$1$ を $1$ で割ります。

$1 + 1$

ステップ 1.4.1.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$(- 1) + \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$- 1 - 1$

ステップ 1.4.2.2.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$- 2$

ステップ 1.4.3

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$(0) + \frac{1}{0}$

ステップ 1.4.3.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 1.4.4

点のすべてを一覧にします。

$(1, 2), (- 1, - 2)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(1, 2)$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 3.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$(1) + \frac{1}{1}$

ステップ 3.1.2

簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$1$ を $1$ で割ります。

$1 + 1$

ステップ 3.1.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2$

ステップ 3.2

$x = 5$ での値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$5$ を $x$ に代入します。

$(5) + \frac{1}{5}$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$5 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}$

ステップ 3.2.2.2

$5$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}$

ステップ 3.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 \cdot 5 + 1}{5}$

ステップ 3.2.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.2.4.1

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{25 + 1}{5}$

ステップ 3.2.2.4.2

$25$ と $1$ をたし算します。

$\frac{26}{5}$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, 2), (5, \frac{26}{5})$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(5, \frac{26}{5})$

最小値： $(1, 2)$

ステップ 5

微分積分 例

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