微分積分例

$f (x) = 3 + 5 x - 5 x^{2}$ , $[0, 4]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $3 + 5 x - 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$5$ に $1$ をかけます。

$0 + 5 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + 5 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 5 - 5 (2 x)$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$0 + 5 - 10 x$

ステップ 1.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$0$ と $5$ をたし算します。

$5 - 10 x$

ステップ 1.1.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 10 x + 5$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 10 x + 5$ です。

$- 10 x + 5$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 10 x + 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 10 x + 5 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- 10 x = - 5$

ステップ 1.2.3

$- 10 x = - 5$ の各項を $- 10$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 10 x = - 5$ の各項を $- 10$ で割ります。

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 5}{- 10}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 5}{- 10}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{- 10}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$- 5$ と $- 10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1.1

$- 5$ を $- 5$ で因数分解します。

$x = \frac{- 5 (1)}{- 10}$

ステップ 1.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1.2.1

$- 5$ を $- 10$ で因数分解します。

$x = \frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{- 5 \cdot 1}{- 5 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 + 5 x - 5 x^{2}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x = \frac{1}{2}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$\frac{1}{2}$ を $x$ に代入します。

$3 + 5 (\frac{1}{2}) - 5 {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$3 + \frac{5}{2} - 5 {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$3 + \frac{5}{2} - 5 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$3 + \frac{5}{2} - 5 \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$3 + \frac{5}{2} - 5 (\frac{1}{4})$

ステップ 1.4.1.2.1.5

$- 5$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$3 + \frac{5}{2} + \frac{- 5}{4}$

ステップ 1.4.1.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$3 + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

ステップ 1.4.1.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{3}{1} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$\frac{3}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$\frac{3}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}$

ステップ 1.4.1.2.2.4

$\frac{5}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{4}$

ステップ 1.4.1.2.2.5

$\frac{5}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{5}{4}$

ステップ 1.4.1.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{5 \cdot 2}{4} - \frac{5}{4}$

ステップ 1.4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 \cdot 4 + 5 \cdot 2 - 5}{4}$

ステップ 1.4.1.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 + 5 \cdot 2 - 5}{4}$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 + 10 - 5}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.1

$12$ と $10$ をたし算します。

$\frac{22 - 5}{4}$

ステップ 1.4.1.2.5.2

$22$ から $5$ を引きます。

$\frac{17}{4}$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{1}{2}, \frac{17}{4})$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$3 + 5 (0) - 5 {(0)}^{2}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$5$ に $0$ をかけます。

$3 + 0 - 5 {(0)}^{2}$

ステップ 2.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 + 0 - 5 \cdot 0$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 5$ に $0$ をかけます。

$3 + 0 + 0$

ステップ 2.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$3 + 0$

ステップ 2.1.2.2.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 2.2

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

$3 + 5 (4) - 5 {(4)}^{2}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$5$ に $4$ をかけます。

$3 + 20 - 5 {(4)}^{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$3 + 20 - 5 \cdot 16$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 5$ に $16$ をかけます。

$3 + 20 - 80$

ステップ 2.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$3$ と $20$ をたし算します。

$23 - 80$

ステップ 2.2.2.2.2

$23$ から $80$ を引きます。

$- 57$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 3), (4, - 57)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(\frac{1}{2}, \frac{17}{4})$

最小値： $(4, - 57)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例