微分積分例

$f (x) = 18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ , $[0, 12]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $18$ をかけます。

$36 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$- \frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{2} x^{3}$ の微分係数は $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$36 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$36 x - \frac{3}{2} (3 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$36 x - 3 (\frac{3}{2}) x^{2}$

ステップ 1.1.1.3.4

$- 3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$36 x + \frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2}$

ステップ 1.1.1.3.5

$- 3$ に $3$ をかけます。

$36 x + \frac{- 9}{2} x^{2}$

ステップ 1.1.1.3.6

$\frac{- 9}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$36 x + \frac{- 9 x^{2}}{2}$

ステップ 1.1.1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$36 x - \frac{9 x^{2}}{2}$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$ です。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$

ステップ 1.2.2

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ の各項に $2$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.2.1

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ の各項に $2$ を掛けます。

$- \frac{9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1.1.1

$- \frac{9 x^{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

ステップ 1.2.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

ステップ 1.2.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$- 9 x^{2} + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$2$ に $36$ をかけます。

$- 9 x^{2} + 72 x = 0 \cdot 2$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.3.1

$0$ に $2$ をかけます。

$- 9 x^{2} + 72 x = 0$

ステップ 1.2.3

$- 9 x$ を $- 9 x^{2} + 72 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 9 x$ を $- 9 x^{2}$ で因数分解します。

$- 9 x \cdot x + 72 x = 0$

ステップ 1.2.3.2

$- 9 x$ を $72 x$ で因数分解します。

$- 9 x \cdot x - 9 x \cdot - 8 = 0$

ステップ 1.2.3.3

$- 9 x$ を $- 9 x (x) - 9 x (- 8)$ で因数分解します。

$- 9 x (x - 8) = 0$

ステップ 1.2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 8 = 0$

ステップ 1.2.5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.6

$x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x - 8 = 0$

ステップ 1.2.6.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 1.2.7

最終解は $- 9 x (x - 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 8$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$18$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$- \frac{3}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

ステップ 1.4.1.2.1.4.2

$0$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 1.4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4.2

$x = 8$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$8$ を $x$ に代入します。

$18 {(8)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$18 \cdot 64 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$18$ に $64$ をかけます。

$1152 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$8$ を $3$ 乗します。

$1152 - \frac{3}{2} \cdot 512$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.4.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot 512$

ステップ 1.4.2.2.1.4.2

$2$ を $512$ で因数分解します。

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (256))$

ステップ 1.4.2.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 256)$

ステップ 1.4.2.2.1.4.4

式を書き換えます。

$1152 - 3 \cdot 256$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$- 3$ に $256$ をかけます。

$1152 - 768$

ステップ 1.4.2.2.2

$1152$ から $768$ を引きます。

$384$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (8, 384)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

ステップ 2.1.2.1.2

$18$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

ステップ 2.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

ステップ 2.1.2.1.4

$- \frac{3}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

ステップ 2.1.2.1.4.2

$0$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 2.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.2

$x = 12$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ を $x$ に代入します。

$18 {(12)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$18 \cdot 144 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

ステップ 2.2.2.1.2

$18$ に $144$ をかけます。

$2592 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

ステップ 2.2.2.1.3

$12$ を $3$ 乗します。

$2592 - \frac{3}{2} \cdot 1728$

ステップ 2.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.4.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot 1728$

ステップ 2.2.2.1.4.2

$2$ を $1728$ で因数分解します。

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (864))$

ステップ 2.2.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 864)$

ステップ 2.2.2.1.4.4

式を書き換えます。

$2592 - 3 \cdot 864$

ステップ 2.2.2.1.5

$- 3$ に $864$ をかけます。

$2592 - 2592$

ステップ 2.2.2.2

$2592$ から $2592$ を引きます。

$0$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (12, 0)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(8, 384)$

最小値： $(0, 0), (12, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

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