微分積分例

$f (x) = x + e^{- 4 x}$ , $[- 2, 3]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x + e^{- 4 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 4 x$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.1.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $- 4 x$ で置き換えます。

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 1.1.1.2.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 4$ を $e^{- 4 x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $1 - 4 e^{- 4 x}$ です。

$1 - 4 e^{- 4 x}$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

ステップ 1.2.3

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$e^{- 4 x}$ を $1$ で割ります。

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

ステップ 1.2.5

左辺を展開します。

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ステップ 1.2.5.1

$- 4 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 4 x})$ を展開します。

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

ステップ 1.2.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

ステップ 1.2.5.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

ステップ 1.2.6

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

ステップ 1.2.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

ステップ 1.2.6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

ステップ 1.2.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x + e^{- 4 x}$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ を $x$ に代入します。

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

ステップ 1.4.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ を $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ に書き換えます。

$- (\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

ステップ 1.4.1.2.2

対数の中の $\frac{1}{4}$ を移動させて $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ を簡約します。

$- \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

ステップ 1.4.1.2.3

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$- \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

ステップ 1.4.1.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

ステップ 1.4.1.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.5.1

$- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

ステップ 1.4.1.2.5.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

ステップ 1.4.1.2.5.3

共通因数を約分します。

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

ステップ 1.4.1.2.5.4

式を書き換えます。

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

ステップ 1.4.1.2.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.4.1.2.7

$\ln (\frac{1}{4})$ に $1$ をかけます。

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.4.1.2.8

指数関数と対数関数は逆関数です。

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

ステップ 1.4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$(- 2) + e^{- 4 \cdot - 2}$

ステップ 2.1.2

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 + e^{8}$

ステップ 2.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

$(3) + e^{- 4 \cdot 3}$

ステップ 2.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$3 + e^{- 12}$

ステップ 2.2.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 + \frac{1}{e^{12}}$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, - 2 + e^{8}), (3, 3 + \frac{1}{e^{12}})$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 2, - 2 + e^{8})$

最小値： $(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

ステップ 4

微分積分 例

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