微分積分例

$x^{2} + y^{2} = 16 x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (16 x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 2 y y'$

ステップ 2.3

項を並べ替えます。

$2 y y' + 2 x$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$16 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 \cdot 1$

ステップ 3.3

$16$ に $1$ をかけます。

$16$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' + 2 x = 16$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$2 y y' = 16 - 2 x$

ステップ 5.2

$2 y y' = 16 - 2 x$ の各項を $2 y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 y y' = 16 - 2 x$ の各項を $2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{8}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.3.1.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

ステップ 5.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

ステップ 5.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{8}{y} + \frac{- x}{y}$

ステップ 5.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{8}{y} - \frac{x}{y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} - \frac{x}{y}$

ステップ 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の両辺から $\frac{8}{y}$ を引きます。

$- \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

ステップ 7.2

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$- x = - 8$

ステップ 7.3

$- x = - 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$- x = - 8$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 7.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 7.3.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 7.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

$- 8$ を $- 1$ で割ります。

$x = 8$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$8$ を $2$ 乗します。

$64 + y^{2} = 16 (8)$

ステップ 8.2

$16$ に $8$ をかけます。

$64 + y^{2} = 128$

ステップ 8.3

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

方程式の両辺から $64$ を引きます。

$y^{2} = 128 - 64$

ステップ 8.3.2

$128$ から $64$ を引きます。

$y^{2} = 64$

ステップ 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64}$

ステップ 8.5

$\pm \sqrt{64}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{8^{2}}$

ステップ 8.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm 8$

ステップ 8.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = 8$

ステップ 8.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - 8$

ステップ 8.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 8, - 8$

ステップ 9

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(8, 8)$

$(8, - 8)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例