微分積分例

$10 \sin (x y) = 2 x + 3 y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (10 \sin (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x + 3 y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 \sin (x y)$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$10 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$10 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$10 (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 2.3

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$10 \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$10 \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 2.6

$y$ に $1$ をかけます。

$10 \cos (x y) (x y' + y)$

ステップ 2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分配則を当てはめます。

$10 \cos (x y) (x y') + 10 \cos (x y) y$

ステップ 2.7.2

項を並べ替えます。

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y)$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $2 x + 3 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [3 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 + 3 y'$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$3 y' + 2$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y) = 3 y' + 2$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$10 x \cos (x y) y' + 10 y \cos (x y)$ の因数を並べ替えます。

$10 x y' \cos (x y) + 10 y \cos (x y) = 3 y' + 2$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3 y'$ を引きます。

$10 x y' \cos (x y) + 10 y \cos (x y) - 3 y' = 2$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $10 y \cos (x y)$ を引きます。

$10 x y' \cos (x y) - 3 y' = 2 - 10 y \cos (x y)$

ステップ 5.4

$y'$ を $10 x y' \cos (x y) - 3 y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$y'$ を $10 x y' \cos (x y)$ で因数分解します。

$y' (10 x \cos (x y)) - 3 y' = 2 - 10 y \cos (x y)$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $- 3 y'$ で因数分解します。

$y' (10 x \cos (x y)) + y' \cdot - 3 = 2 - 10 y \cos (x y)$

ステップ 5.4.3

$y'$ を $y' (10 x \cos (x y)) + y' \cdot - 3$ で因数分解します。

$y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$

ステップ 5.5

$y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$ の各項を $10 x \cos (x y) - 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$y' (10 x \cos (x y) - 3) = 2 - 10 y \cos (x y)$ の各項を $10 x \cos (x y) - 3$ で割ります。

$\frac{y' (10 x \cos (x y) - 3)}{10 x \cos (x y) - 3} = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$10 x \cos (x y) - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (10 x \cos (x y) - 3)}{10 x \cos (x y) - 3} = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} + \frac{- 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2}{10 x \cos (x y) - 3} - \frac{10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

ステップ 5.5.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 - 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

ステップ 5.5.3.3

$2$ を $2 - 10 y \cos (x y)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (1) - 10 y \cos (x y)}{10 x \cos (x y) - 3}$

ステップ 5.5.3.3.2

$2$ を $- 10 y \cos (x y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

ステップ 5.5.3.3.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- 5 y \cos (x y))$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{10 x \cos (x y) - 3}$

ステップ 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を0に等しくします。

$2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$

ステップ 7.2

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2 (1 - 5 y \cos (x y)) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 7.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 - 5 y \cos (x y))}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 7.2.1.2.1.2

$1 - 5 y \cos (x y)$ を $1$ で割ります。

$1 - 5 y \cos (x y) = \frac{0}{2}$

ステップ 7.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$1 - 5 y \cos (x y) = 0$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 5 y \cos (x y) = - 1$

ステップ 7.2.3

$- 5 y \cos (x y) = - 1$ の各項を $- 5 y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$- 5 y \cos (x y) = - 1$ の各項を $- 5 y$ で割ります。

$\frac{- 5 y \cos (x y)}{- 5 y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

ステップ 7.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 y \cos (x y)}{- 5 y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

ステップ 7.2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

ステップ 7.2.3.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{- 5 y}$

ステップ 7.2.3.2.2.2

$\cos (x y)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x y) = \frac{- 1}{- 5 y}$

ステップ 7.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos (x y) = \frac{1}{5 y}$

ステップ 7.2.4

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$

ステップ 7.2.5

$x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1

$x y = \arccos (\frac{1}{5 y})$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

ステップ 7.2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

ステップ 7.2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$10 \sin ((\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) y)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$10 \sin (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y} y) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.1.1.2

式を書き換えます。

$10 \sin (\arccos (\frac{1}{5 y})) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.1.2

指数を利用して式を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.2.1

交点 $(\frac{1}{5 y}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}})$ 、 $(\frac{1}{5 y}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (\frac{1}{5 y})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\frac{1}{5 y}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (\frac{1}{5 y}))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{1}{5 y})}^{2}}$ です。

$10 \sqrt{1 - {(\frac{1}{5 y})}^{2}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.1.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$10 \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{5 y})}^{2}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{1}{5 y}$ です。

$10 \sqrt{(1 + \frac{1}{5 y}) (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$10 \sqrt{(\frac{5 y}{5 y} + \frac{1}{5 y}) (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} (1 - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} (\frac{5 y}{5 y} - \frac{1}{5 y})} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$10 \sqrt{\frac{5 y + 1}{5 y} \cdot \frac{5 y - 1}{5 y}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.3.5

$\frac{5 y + 1}{5 y}$ に $\frac{5 y - 1}{5 y}$ をかけます。

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{5 y (5 y)}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.4

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.4.1

$5$ に $5$ をかけます。

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y \cdot y}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.4.2

$y$ を $1$ 乗します。

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 (y^{1} y)}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.4.3

$y$ を $1$ 乗します。

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 (y^{1} y^{1})}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{1 + 1}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$10 \sqrt{\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{2}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.5

$\frac{(5 y + 1) (5 y - 1)}{25 y^{2}}$ を ${(\frac{1}{5 y})}^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.5.1

$(5 y + 1) (5 y - 1)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$10 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{25 y^{2}}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.5.2

$25 y^{2}$ から完全累乗 ${(5 y)}^{2}$ を因数分解します。

$10 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{{(5 y)}^{2} \cdot 1}} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.5.3

分数 $\frac{1^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))}{{(5 y)}^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$10 \sqrt{{(\frac{1}{5 y})}^{2} ((5 y + 1) (5 y - 1))} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$10 (\frac{1}{5 y} \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}) = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.7

$\frac{1}{5 y}$ と $\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}$ をまとめます。

$10 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.8

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.8.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$5 (2) \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.8.2

$5$ を $5 y$ で因数分解します。

$5 (2) \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 (y)} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.8.3

共通因数を約分します。

$5 \cdot 2 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{5 y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.8.4

式を書き換えます。

$2 \frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.1.9

$2$ と $\frac{\sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y}$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = 2 (\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}) + 3 y$

ステップ 8.2

$2$ と $\frac{\arccos (\frac{1}{5 y})}{y}$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{(5 y + 1) (5 y - 1)}}{y} = \frac{2 \arccos (\frac{1}{5 y})}{y} + 3 y$

ステップ 8.3

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$y \approx 0.24419009, 2.99063055$

ステップ 9

$y$ が $0.24419009$ のときの $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

括弧を削除します。

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 (0.24419009)})}{0.24419009}$

ステップ 9.2

$\frac{\arccos (\frac{1}{5 (0.24419009)})}{0.24419009}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$5$ に $0.24419009$ をかけます。

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{1.22095048})}{0.24419009}$

ステップ 9.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$1$ を $1.22095048$ で割ります。

$x = \frac{\arccos (0.81903403)}{0.24419009}$

ステップ 9.2.2.2

$\arccos (0.81903403)$ の値を求めます。

$x = \frac{0.61107095}{0.24419009}$

ステップ 9.2.3

$0.61107095$ を $0.24419009$ で割ります。

$x = 2.50243954$

ステップ 10

$y$ が $2.99063055$ のときの $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

括弧を削除します。

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{5 (2.99063055)})}{2.99063055}$

ステップ 10.2

$\frac{\arccos (\frac{1}{5 (2.99063055)})}{2.99063055}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$5$ に $2.99063055$ をかけます。

$x = \frac{\arccos (\frac{1}{14.95315279})}{2.99063055}$

ステップ 10.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$1$ を $14.95315279$ で割ります。

$x = \frac{\arccos (0.06687552)}{2.99063055}$

ステップ 10.2.2.2

$\arccos (0.06687552)$ の値を求めます。

$x = \frac{1.50387084}{2.99063055}$

ステップ 10.2.3

$1.50387084$ を $2.99063055$ で割ります。

$x = 0.50286079$

ステップ 11

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(2.50243954, 0.24419009)$

$(0.50286079, 2.99063055)$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例