微分積分例

$y^{2} = x^{2} + y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' = 2 x + y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $y'$ を引きます。

$2 y y' - y' = 2 x$

ステップ 5.2

$y'$ を $2 y y' - y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$y' (2 y) - y' = 2 x$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 x$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (2 y - 1) = 2 x$

ステップ 5.3

$y' (2 y - 1) = 2 x$ の各項を $2 y - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (2 y - 1) = 2 x$ の各項を $2 y - 1$ で割ります。

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2 y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{2 y - 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

ステップ 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

分子を0に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 7.2

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

$0^{2} + y$ を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y^{2} = 0 + y$

ステップ 8.1.2

$0$ と $y$ をたし算します。

$y^{2} = y$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$y^{2} - y = 0$

ステップ 8.3

$y$ を $y^{2} - y$ で因数分解します。

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ステップ 8.3.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$y \cdot y - y = 0$

ステップ 8.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \cdot y + y \cdot - 1 = 0$

ステップ 8.3.3

$y$ を $y \cdot y + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y (y - 1) = 0$

ステップ 8.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y = 0$

$y - 1 = 0$

ステップ 8.5

$y$ が $0$ に等しいとします。

$y = 0$

ステップ 8.6

$y - 1$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 8.6.1

$y - 1$ が $0$ に等しいとします。

$y - 1 = 0$

ステップ 8.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 1$

ステップ 8.7

最終解は $y (y - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 0, 1$

ステップ 9

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(0, 0)$

$(0, 1)$

ステップ 10

微分積分 例

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