微分積分例

$x^{2} + x y + y^{2} = 27$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (27)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} + x y + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

ステップ 3

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

ステップ 5.2

$y'$ を $x y' + 2 y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (x) + y' (2 y)$ で因数分解します。

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

ステップ 5.3

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ の各項を $x + 2 y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ の各項を $x + 2 y$ で割ります。

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$x + 2 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

ステップ 5.3.3.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

ステップ 5.3.3.3

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

ステップ 5.3.3.4

$- 1$ を $- (2 x) - (y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

ステップ 5.3.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

$- (2 x + y)$ を $- 1 (2 x + y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

ステップ 5.3.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

ステップ 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を0に等しくします。

$2 x + y = 0$

ステップ 7.2

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$2 x = - y$

ステップ 7.2.2

$2 x = - y$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2 x = - y$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y}{2}$

ステップ 7.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y}{2}$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.1.1

積の法則を $- \frac{y}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

ステップ 8.1.1.1.2

積の法則を $\frac{y}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

ステップ 8.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

ステップ 8.1.1.3

$\frac{y^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

ステップ 8.1.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

ステップ 8.1.1.5

$(- \frac{y}{2}) y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.5.1

$y$ と $\frac{y}{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} + y^{2} = 27$

ステップ 8.1.1.5.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} + y^{2} = 27$

ステップ 8.1.1.5.3

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} + y^{2} = 27$

ステップ 8.1.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + y^{2} = 27$

ステップ 8.1.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} + y^{2} = 27$

ステップ 8.1.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.1

$\frac{y^{2}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{4} - (\frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}) + y^{2} = 27$

ステップ 8.1.2.2

$\frac{y^{2}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + y^{2} = 27$

ステップ 8.1.2.3

$y^{2}$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} = 27$

ステップ 8.1.2.4

$\frac{y^{2}}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} = 27$

ステップ 8.1.2.5

$\frac{y^{2}}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

ステップ 8.1.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

ステップ 8.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

ステップ 8.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

ステップ 8.1.4.2

$4$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

ステップ 8.1.5

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.5.1

$y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$\frac{- y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

ステップ 8.1.5.2

$- y^{2}$ と $4 y^{2}$ をたし算します。

$\frac{3 y^{2}}{4} = 27$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $\frac{4}{3}$ を掛けます。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

ステップ 8.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

まとめる。

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

ステップ 8.3.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

ステップ 8.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

ステップ 8.3.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

ステップ 8.3.1.1.3.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot 27$

ステップ 8.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\frac{4}{3} \cdot 27$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.1.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 (9))$

ステップ 8.3.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 9)$

ステップ 8.3.2.1.1.3

式を書き換えます。

$y^{2} = 4 \cdot 9$

ステップ 8.3.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$y^{2} = 36$

ステップ 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

ステップ 8.5

$\pm \sqrt{36}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

ステップ 8.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm 6$

ステップ 8.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = 6$

ステップ 8.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - 6$

ステップ 8.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 6, - 6$

ステップ 9

Solve for $x$ when $y$ is $6$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

括弧を削除します。

$x = - \frac{6}{2}$

ステップ 9.2

$- \frac{6}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$6$ を $2$ で割ります。

$x = - 1 \cdot 3$

ステップ 9.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x = - 3$

ステップ 10

$- \frac{- 6}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 6$ を $2$ で割ります。

$x = - - 3$

ステップ 10.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$x = 3$

ステップ 11

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(- 3, 6)$

$(3, - 6)$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例