微分積分例

$3 x y = \ln (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (3 x y) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$3 (x y' + y)$

ステップ 2.6

分配則を当てはめます。

$3 x y' + 3 y$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x y' + 3 y = \frac{1}{x}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺から $3 y$ を引きます。

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$

ステップ 5.2

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ の各項を $3 x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ の各項を $3 x$ で割ります。

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.3.1.2

$\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{3 x}$ をかけます。

$y' = \frac{1}{x (3 x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x^{1})} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.3.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{1}{3 x^{1 + 1}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.3.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

ステップ 5.2.3.1.3

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.1

$3$ を $- 3 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

ステップ 5.2.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

ステップ 5.2.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

ステップ 5.2.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- y}{x}$

ステップ 5.2.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

ステップ 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$3 x^{2}, x, 1$

ステップ 7.1.2

Since $3 x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

ステップ 7.1.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 7.1.4

$3$ には、 $1$ と $3$ 以外に因数がないため。

$3$ は素数です

ステップ 7.1.5

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 7.1.6

$3, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$3$

ステップ 7.1.7

$x^{2}$ の因数は $x \cdot x$ です。これは $x$ を $2$ 倍したものです。

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ は $2$ 回発生します。

ステップ 7.1.8

$x^{1}$ の因数は $x$ そのものです。

$x^{1} = x$

$x$ は $1$ 回発生します。

ステップ 7.1.9

$x^{2}, x^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x \cdot x$

ステップ 7.1.10

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2}$

ステップ 7.1.11

$3 x^{2}, x, 1$ の最小公倍数は数値部分 $3$ に変数部分を掛けたものです。

$3 x^{2}$

ステップ 7.2

$\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ の各項に $3 x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ の各項に $3 x^{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{3 x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

ステップ 7.2.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.2.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 \frac{1}{3 (x^{2})} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

ステップ 7.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

ステップ 7.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

ステップ 7.2.2.1.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

ステップ 7.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$1 - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

ステップ 7.2.2.1.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.4.1

$- \frac{y}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$1 + \frac{- y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

ステップ 7.2.2.1.4.2

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

ステップ 7.2.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

ステップ 7.2.2.1.4.4

式を書き換えます。

$1 - y (3 x) = 0 (3 x^{2})$

ステップ 7.2.2.1.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 3 y x = 0 (3 x^{2})$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$0 (3 x^{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$1 - 3 y x = 0 x^{2}$

ステップ 7.2.3.1.2

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$1 - 3 y x = 0$

ステップ 7.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 3 y x = - 1$

ステップ 7.3.2

$- 3 y x = - 1$ の各項を $- 3 y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$- 3 y x = - 1$ の各項を $- 3 y$ で割ります。

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

ステップ 7.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

ステップ 7.3.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

ステップ 7.3.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

ステップ 7.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 3 y}$

ステップ 7.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{1}{3 y}$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + 3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

ステップ 8.1.2

0を加えて簡約します。

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

ステップ 8.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.3.1

$3$ を $3 y$ で因数分解します。

$3 \frac{1}{3 (y)} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

ステップ 8.1.3.2

共通因数を約分します。

$3 \frac{1}{3 y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

ステップ 8.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

ステップ 8.1.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

ステップ 8.1.4.2

式を書き換えます。

$1 = \ln (\frac{1}{3 y})$

ステップ 8.2

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$

ステップ 8.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{1}{3 y})} = e^{1}$

ステップ 8.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{1} = \frac{1}{3 y}$

ステップ 8.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

方程式を $\frac{1}{3 y} = e^{1}$ として書き換えます。

$\frac{1}{3 y} = e$

ステップ 8.5.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$3 y, 1$

ステップ 8.5.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$3 y$

ステップ 8.5.3

$\frac{1}{3 y} = e$ の各項に $3 y$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.1

$\frac{1}{3 y} = e$ の各項に $3 y$ を掛けます。

$\frac{1}{3 y} (3 y) = e (3 y)$

ステップ 8.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

ステップ 8.5.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.2.2.1

$3$ を $3 y$ で因数分解します。

$3 \frac{1}{3 (y)} y = e (3 y)$

ステップ 8.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

ステップ 8.5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

ステップ 8.5.3.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

ステップ 8.5.3.2.3.2

式を書き換えます。

$1 = e (3 y)$

ステップ 8.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.3.1

$3$ を $e$ の左に移動させます。

$1 = 3 e y$

ステップ 8.5.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.4.1

方程式を $3 e y = 1$ として書き換えます。

$3 e y = 1$

ステップ 8.5.4.2

$3 e y = 1$ の各項を $3 e$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.4.2.1

$3 e y = 1$ の各項を $3 e$ で割ります。

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

ステップ 8.5.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.4.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

ステップ 8.5.4.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

ステップ 8.5.4.2.2.2

$e$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.4.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

ステップ 8.5.4.2.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{3 e}$

ステップ 9

Solve for $x$ when $y$ is $\frac{1}{3 e}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$3$ に $\frac{1}{3 e}$ をかけます。

$x = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$

ステップ 9.2

$\frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$3$ と $\frac{1}{3 e}$ をまとめます。

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

ステップ 9.2.2

今日数因数で約分することで式 $\frac{3}{3 e}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

ステップ 9.2.2.2

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{\frac{1}{e}}$

ステップ 9.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = 1 e$

ステップ 9.2.4

$e$ に $1$ をかけます。

$x = e$

ステップ 10

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(e, \frac{1}{3 e})$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例