微分積分例

$\cot (y) = x - y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\cot (u)$ の微分係数は $- \csc^{2} (u)$ です。

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \csc^{2} (y) y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 - y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- \csc^{2} (y) y' = 1 - y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- \csc^{2} (y) y'$ の因数を並べ替えます。

$- y' \csc^{2} (y) = 1 - y'$

ステップ 5.2

$y'$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $y'$ を足します。

$- y' \csc^{2} (y) + y' = 1$

ステップ 5.2.2

$- y' \csc^{2} (y)$ と $y'$ を並べ替えます。

$y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $1 y'$ に書き換えます。

$1 y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

ステップ 5.2.4

$- y'$ を $1 y'$ で因数分解します。

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

ステップ 5.2.5

$- y'$ を $- y' \csc^{2} (y)$ で因数分解します。

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

ステップ 5.2.6

$- y'$ を $- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y)$ で因数分解します。

$- y' (- 1 + \csc^{2} (y)) = 1$

ステップ 5.2.7

項を並べ替えます。

$- y' (\csc^{2} (y) - 1) = 1$

ステップ 5.2.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- y' \cot^{2} (y) = 1$

ステップ 5.3

$- y' \cot^{2} (y) = 1$ の各項を $- \cot^{2} (y)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$- y' \cot^{2} (y) = 1$ の各項を $- \cot^{2} (y)$ で割ります。

$\frac{- y' \cot^{2} (y)}{- \cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.2.2

$\cot^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{1}{\cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y' = - \frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$ を ${(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$ に書き換えます。

$y' = - {(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$

ステップ 5.3.3.4

正弦と余弦に関して $\cot (y)$ を書き換えます。

$y' = - {(\frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})}^{2}$

ステップ 5.3.3.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ で割ります。

$y' = - {(\frac{\sin (y)}{\cos (y)})}^{2}$

ステップ 5.3.3.6

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ を $\tan (y)$ に変換します。

$y' = - \tan^{2} (y)$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \tan^{2} (y)$

ステップ 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- \tan^{2} (y) = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- \tan^{2} (y) = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan^{2} (y)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 7.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan^{2} (y)}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 7.1.2.2

$\tan^{2} (y)$ を $1$ で割ります。

$\tan^{2} (y) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 7.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\tan^{2} (y) = 0$

ステップ 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (y) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 7.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\tan (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 7.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\tan (y) = \pm 0$

ステップ 7.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\tan (y) = 0$

ステップ 7.4

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $y$ を取り出します。

$y = \arctan (0)$

ステップ 7.5

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$y = 0$

ステップ 7.6

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$y = π + 0$

ステップ 7.7

$π$ と $0$ をたし算します。

$y = π$

ステップ 7.8

$\tan (y)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 7.8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 7.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 7.8.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 7.9

$\tan (y)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$y = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7.10

答えをまとめます。

$y = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

括弧を削除します。

$\cot (y) = π n - y$

ステップ 9

Solve for $x$ when $y$ is $π n - y$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$n$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $π n$ を引きます。

$π n - y - π n = 0$

ステップ 9.1.2

$π n - y - π n$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$π n$ から $π n$ を引きます。

$- y + 0 = 0$

ステップ 9.1.2.2

$- y$ と $0$ をたし算します。

$- y = 0$

ステップ 9.2

$- y = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$- y = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 9.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{0}{- 1}$

ステップ 9.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$y = 0$

ステップ 10

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(0, π n - y)$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例