微分積分例

$5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$10 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$10 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$10 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

ステップ 2.3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$10 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 y^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.4.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y y')$

ステップ 2.4.4

$2$ に $7$ をかけます。

$10 x - 2 (x y' + y) + 14 y y'$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$10 x - 2 (x y') - 2 y + 14 y y'$

ステップ 2.5.2

不要な括弧を削除します。

$10 x - 2 x y' - 2 y + 14 y y'$

ステップ 2.5.3

項を並べ替えます。

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y$

ステップ 3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $10 x$ を引きます。

$- 2 x y' + 14 y y' - 2 y = - 10 x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$- 2 x y' + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

ステップ 5.2

$2 y'$ を $- 2 x y' + 14 y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 y'$ を $- 2 x y'$ で因数分解します。

$2 y' (- x) + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

ステップ 5.2.2

$2 y'$ を $14 y y'$ で因数分解します。

$2 y' (- x) + 2 y' (7 y) = - 10 x + 2 y$

ステップ 5.2.3

$2 y'$ を $2 y' (- x) + 2 y' (7 y)$ で因数分解します。

$2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$

ステップ 5.3

$2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ の各項を $2 (- x + 7 y)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ の各項を $2 (- x + 7 y)$ で割ります。

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

ステップ 5.3.2.2

$- x + 7 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$- 10$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.1

$2$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{- 5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

ステップ 5.3.3.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

ステップ 5.3.3.1.3.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{y}{- x + 7 y}$

ステップ 5.3.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 5 x + y}{- x + 7 y}$

ステップ 5.3.3.2.2

$- 1$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (5 x) + y}{- x + 7 y}$

ステップ 5.3.3.2.3

$- 1$ を $y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (5 x) - 1 (- y)}{- x + 7 y}$

ステップ 5.3.3.2.4

$- 1$ を $- (5 x) - 1 (- y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (5 x - y)}{- x + 7 y}$

ステップ 5.3.3.2.5

$- (5 x - y)$ を $- 1 (5 x - y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- x + 7 y}$

ステップ 5.3.3.2.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) + 7 y}$

ステップ 5.3.3.2.7

$- 1$ を $7 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) - (- 7 y)}$

ステップ 5.3.3.2.8

$- 1$ を $- (x) - (- 7 y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x - 7 y)}$

ステップ 5.3.3.2.9

$- (x - 7 y)$ を $- 1 (x - 7 y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

ステップ 5.3.3.2.10

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

ステップ 5.3.3.2.11

式を書き換えます。

$y' = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

ステップ 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を0に等しくします。

$5 x - y = 0$

ステップ 7.2

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$5 x = y$

ステップ 7.2.2

$5 x = y$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$5 x = y$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{y}{5}$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$5 {(\frac{y}{5})}^{2} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.1

積の法則を $\frac{y}{5}$ に当てはめます。

$5 \frac{y^{2}}{5^{2}} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

ステップ 8.1.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$5 \frac{y^{2}}{25} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

ステップ 8.1.1.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.3.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$5 \frac{y^{2}}{5 (5)} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

ステップ 8.1.1.3.2

共通因数を約分します。

$5 \frac{y^{2}}{5 \cdot 5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

ステップ 8.1.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

ステップ 8.1.1.4

$- 2$ と $\frac{y}{5}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{- 2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

ステップ 8.1.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

ステップ 8.1.1.6

$- \frac{2 y}{5} y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.6.1

$y$ と $\frac{2 y}{5}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{y (2 y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

ステップ 8.1.1.6.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

ステップ 8.1.1.6.3

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y^{1})}{5} + 7 y^{2} = 0$

ステップ 8.1.1.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{1 + 1}}{5} + 7 y^{2} = 0$

ステップ 8.1.1.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{2}}{5} + 7 y^{2} = 0$

ステップ 8.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$7 y^{2} + \frac{y^{2} - 2 y^{2}}{5} = 0$

ステップ 8.1.2.2

$y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$7 y^{2} + \frac{- y^{2}}{5} = 0$

ステップ 8.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$7 y^{2} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

ステップ 8.1.3

$7 y^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$7 y^{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

ステップ 8.1.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.4.1

$7 y^{2}$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{7 y^{2} \cdot 5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

ステップ 8.1.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}}{5} = 0$

ステップ 8.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.5.1

$y^{2}$ を $7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.5.1.1

$y^{2}$ を $7 y^{2} \cdot 5$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) - y^{2}}{5} = 0$

ステップ 8.1.5.1.2

$y^{2}$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1}{5} = 0$

ステップ 8.1.5.1.3

$y^{2}$ を $y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5 - 1)}{5} = 0$

ステップ 8.1.5.2

$7$ に $5$ をかけます。

$\frac{y^{2} (35 - 1)}{5} = 0$

ステップ 8.1.5.3

$35$ から $1$ を引きます。

$\frac{y^{2} \cdot 34}{5} = 0$

ステップ 8.1.6

$34$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{34 y^{2}}{5} = 0$

ステップ 8.2

分子を0に等しくします。

$34 y^{2} = 0$

ステップ 8.3

$y$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$34 y^{2} = 0$ の各項を $34$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$34 y^{2} = 0$ の各項を $34$ で割ります。

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

ステップ 8.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

$34$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

ステップ 8.3.1.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{0}{34}$

ステップ 8.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.3.1

$0$ を $34$ で割ります。

$y^{2} = 0$

ステップ 8.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{0}$

ステップ 8.3.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 8.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm 0$

ステップ 8.3.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$y = 0$

ステップ 9

$y$ が $0$ のときの $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

括弧を削除します。

$x = \frac{0}{5}$

ステップ 9.2

$0$ を $5$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 10

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(0, 0)$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例