微分積分例

$y = 2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 + 48 x^{2} + 32 x^{4})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

総和則では、 $2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

ステップ 3.1.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $48 x^{2}$ の微分係数は $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $48$ をかけます。

$0 + 96 x + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $32 x^{4}$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$0 + 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 3.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 96 x + 32 (4 x^{3})$

ステップ 3.3.3

$4$ に $32$ をかけます。

$0 + 96 x + 128 x^{3}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

$0$ と $96 x$ をたし算します。

$96 x + 128 x^{3}$

ステップ 3.4.2

項を並べ替えます。

$128 x^{3} + 96 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 128 x^{3} + 96 x$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 128 x^{3} + 96 x$

ステップ 6

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$32 x$ を $128 x^{3} + 96 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$32 x$ を $128 x^{3}$ で因数分解します。

$32 x (4 x^{2}) + 96 x = 0$

ステップ 6.1.2

$32 x$ を $96 x$ で因数分解します。

$32 x (4 x^{2}) + 32 x (3) = 0$

ステップ 6.1.3

$32 x$ を $32 x (4 x^{2}) + 32 x (3)$ で因数分解します。

$32 x (4 x^{2} + 3) = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

ステップ 6.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.4

$4 x^{2} + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$4 x^{2} + 3$ が $0$ に等しいとします。

$4 x^{2} + 3 = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $4 x^{2} + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$4 x^{2} = - 3$

ステップ 6.4.2.2

$4 x^{2} = - 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.1

$4 x^{2} = - 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 6.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 6.4.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

ステップ 6.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

ステップ 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

ステップ 6.4.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 6.4.2.4.1

$- \frac{3}{4}$ を ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.2.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

ステップ 6.4.2.4.1.2

$3$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

ステップ 6.4.2.4.1.3

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 6.4.2.4.1.4

分数 $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

ステップ 6.4.2.4.1.5

$i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ を ${(\frac{i}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

ステップ 6.4.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

ステップ 6.4.2.4.3

$\frac{i}{2}$ と $\sqrt{3}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.4.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.4.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.4.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.4.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.5

最終解は $32 x (4 x^{2} + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7

$y$ について解きます。

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ステップ 7.1

括弧を削除します。

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 {(0)}^{4}$

ステップ 7.2

括弧を削除します。

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$

ステップ 7.3

$2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$ を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 2 + 48 \cdot 0 + 32 \cdot 0^{4}$

ステップ 7.3.1.2

$48$ に $0$ をかけます。

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0^{4}$

ステップ 7.3.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0$

ステップ 7.3.1.4

$32$ に $0$ をかけます。

$y = 2 + 0 + 0$

ステップ 7.3.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$y = 2 + 0$

ステップ 7.3.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$y = 2$

ステップ 8

計算した $x$ の値には虚数成分を含めることはできません。

$\frac{i \sqrt{3}}{2}$ はxの有効値ではありません

ステップ 9

計算した $x$ の値には虚数成分を含めることはできません。

$- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ はxの有効値ではありません

ステップ 10

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(0, 2)$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例