微分積分例

$y = 12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8)$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.2.3

$3$ に $12$ をかけます。

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 27$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 27 x^{2}$ の微分係数は $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$36 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$36 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.3.3

$2$ に $- 27$ をかけます。

$36 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$36 x^{2} - 54 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$36 x^{2} - 54 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.4.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$36 x^{2} - 54 x - 36 + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 3.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$36 x^{2} - 54 x - 36 + 0$

ステップ 3.5.2

$36 x^{2} - 54 x - 36$ と $0$ をたし算します。

$36 x^{2} - 54 x - 36$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 36 x^{2} - 54 x - 36$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} - 54 x - 36$

ステップ 6

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$18$ を $36 x^{2} - 54 x - 36$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

$18$ を $36 x^{2}$ で因数分解します。

$18 (2 x^{2}) - 54 x - 36 = 0$

ステップ 6.1.1.2

$18$ を $- 54 x$ で因数分解します。

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) - 36 = 0$

ステップ 6.1.1.3

$18$ を $- 36$ で因数分解します。

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) + 18 (- 2) = 0$

ステップ 6.1.1.4

$18$ を $18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x)$ で因数分解します。

$18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2) = 0$

ステップ 6.1.1.5

$18$ を $18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2)$ で因数分解します。

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

ステップ 6.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ で和が $b = - 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1.1

$- 3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

ステップ 6.1.2.1.1.2

$- 3$ を $1$ プラス $- 4$ に書き換える

$18 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

ステップ 6.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$18 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

ステップ 6.1.2.1.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$18 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

ステップ 6.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$18 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

ステップ 6.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$18 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

ステップ 6.1.2.1.3

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$18 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

ステップ 6.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 6.3

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 6.3.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 6.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6.5

最終解は $18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, 2$

ステップ 7

$12 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$y = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$y = 12 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$y = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$y = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$y = 12 (- \frac{1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.1

$- \frac{1}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = 12 (\frac{- 1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.5.2

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = 4 (3) \frac{- 1}{8} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.5.3

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.5.4

共通因数を約分します。

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.5.5

式を書き換えます。

$y = 3 (\frac{- 1}{2}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.6

$3$ と $\frac{- 1}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{3 \cdot - 1}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.9

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.9.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.9.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.10

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = - \frac{3}{2} - 27 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.11

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.12

1のすべての数の累乗は1です。

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.13

$2$ を $2$ 乗します。

$y = - \frac{3}{2} - 27 (\frac{1}{4}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.14

$- 27$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{- 27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.15

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.16

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.16.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (\frac{- 1}{2}) + 8$

ステップ 7.1.16.2

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 (- 18) \frac{- 1}{2} + 8$

ステップ 7.1.16.3

共通因数を約分します。

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 18 \frac{- 1}{2} + 8$

ステップ 7.1.16.4

式を書き換えます。

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 18 \cdot - 1 + 8$

ステップ 7.1.17

$- 18$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

ステップ 7.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = - (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{27}{4} + 18 + 8$

ステップ 7.2.2

$\frac{3}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

ステップ 7.2.3

$18$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} + 8$

ステップ 7.2.4

$\frac{18}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + 8$

ステップ 7.2.5

$\frac{18}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 8$

ステップ 7.2.6

$8$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1}$

ステップ 7.2.7

$\frac{8}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.2.8

$\frac{8}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.9

$2$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 3 \cdot 2 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{- 6 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.4.2

$18$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 8 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.4.3

$8$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 32}{4}$

ステップ 7.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$- 6$ から $27$ を引きます。

$y = \frac{- 33 + 72 + 32}{4}$

ステップ 7.5.2

$- 33$ と $72$ をたし算します。

$y = \frac{39 + 32}{4}$

ステップ 7.5.3

$39$ と $32$ をたし算します。

$y = \frac{71}{4}$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

括弧を削除します。

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

ステップ 8.2

括弧を削除します。

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 \cdot 2^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

ステップ 8.3

括弧を削除します。

$y = 12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

ステップ 8.4

$12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$y = 12 \cdot 8 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

ステップ 8.4.1.2

$12$ に $8$ をかけます。

$y = 96 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

ステップ 8.4.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$y = 96 - 27 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 8$

ステップ 8.4.1.4

$- 27$ に $4$ をかけます。

$y = 96 - 108 - 36 \cdot 2 + 8$

ステップ 8.4.1.5

$- 36$ に $2$ をかけます。

$y = 96 - 108 - 72 + 8$

ステップ 8.4.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$96$ から $108$ を引きます。

$y = - 12 - 72 + 8$

ステップ 8.4.2.2

$- 12$ から $72$ を引きます。

$y = - 84 + 8$

ステップ 8.4.2.3

$- 84$ と $8$ をたし算します。

$y = - 76$

ステップ 9

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(- \frac{1}{2}, \frac{71}{4})$

$(2, - 76)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例