微分積分例

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $6 x - 4 \cos (3 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

ステップ 3.2.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 \cos (3 x)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ です。

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 3.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

ステップ 3.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

ステップ 3.3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

ステップ 3.3.7

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$6 + 12 \sin (3 x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$

ステップ 6

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$12 \sin (3 x) = - 6$

ステップ 6.2

$12 \sin (3 x) = - 6$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$12 \sin (3 x) = - 6$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

ステップ 6.2.2.1.2

$\sin (3 x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (3 x) = \frac{- 6}{12}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 6$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$\sin (3 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

ステップ 6.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

ステップ 6.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

ステップ 6.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\sin (3 x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 6.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$3 x = - \frac{π}{6}$

ステップ 6.5

$3 x = - \frac{π}{6}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$3 x = - \frac{π}{6}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

ステップ 6.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

ステップ 6.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

ステップ 6.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 6.5.3.2

$- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{π}{6}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

ステップ 6.5.3.2.2

$3$ に $6$ をかけます。

$x = - \frac{π}{18}$

ステップ 6.6

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 6.7

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 6.7.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$3 x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 6.7.3

$3 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.3.1

$3 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

ステップ 6.7.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

ステップ 6.7.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

ステップ 6.7.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 6.7.3.3.2

$\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.3.3.2.1

$\frac{7 π}{6}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

ステップ 6.7.3.3.2.2

$6$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{18}$

ステップ 6.8

$\sin (3 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.8.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

ステップ 6.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 6.9

$\frac{2 π}{3}$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

$\frac{2 π}{3}$ を $- \frac{π}{18}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

ステップ 6.9.2

$\frac{2 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

ステップ 6.9.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $18$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.3.1

$\frac{2 π}{3}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

ステップ 6.9.3.2

$3$ に $6$ をかけます。

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

ステップ 6.9.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

ステップ 6.9.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.5.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{18}$

ステップ 6.9.5.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{18}$

ステップ 6.9.6

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{18}$

ステップ 6.10

$\sin (3 x)$ 関数の周期が $\frac{2 π}{3}$ なので、両方向で $\frac{2 π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$6 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$y = 6 \frac{7 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 7.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$6$ を $18$ で因数分解します。

$y = 6 \frac{7 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 7.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = 6 \frac{7 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 7.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{7 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 7.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y = \frac{7 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 7.1.3.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{7 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 7.1.3.3

式を書き換えます。

$y = \frac{7 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 7.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 7.1.5

分配則を当てはめます。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

ステップ 7.1.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.1

$3$ を $18$ で因数分解します。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

ステップ 7.1.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

ステップ 7.1.6.3

式を書き換えます。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

ステップ 7.1.7

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.7.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

ステップ 7.1.7.2

式を書き換えます。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

ステップ 7.2

交換して簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{7 π}{6}$ と $2 π n$ を並べ替えます。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

ステップ 7.2.2

$\frac{7 π}{3}$ と $4 π n$ を並べ替えます。

$y = 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

ステップ 8

$6 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

分配則を当てはめます。

$y = 6 \frac{11 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 8.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.1

$6$ を $18$ で因数分解します。

$y = 6 \frac{11 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 8.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = 6 \frac{11 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 8.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{11 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 8.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.3.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y = \frac{11 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 8.1.3.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{11 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 8.1.3.3

式を書き換えます。

$y = \frac{11 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 8.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

ステップ 8.1.5

分配則を当てはめます。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

ステップ 8.1.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.6.1

$3$ を $18$ で因数分解します。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

ステップ 8.1.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

ステップ 8.1.6.3

式を書き換えます。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

ステップ 8.1.7

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.7.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

ステップ 8.1.7.2

式を書き換えます。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

ステップ 8.2

交換して簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\frac{11 π}{6}$ と $2 π n$ を並べ替えます。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

ステップ 8.2.2

$\frac{11 π}{3}$ と $4 π n$ を並べ替えます。

$y = 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

ステップ 9

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6}))$ 、任意の整数 $n$

$(\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6}))$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例