微分積分例

$f (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ , $a = - 1$

ステップ 1

$a$ で線形化を求めるために使用する関数を考えます。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

ステップ 2

$a = - 1$ の値を線形化関数に代入します。

$L (x) = f (- 1) + f' (- 1) (x - - 1)$

ステップ 3

$f (- 1)$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.2

${(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

括弧を削除します。

${(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 + 5 {(- 1)}^{2}$

ステップ 3.2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 5 \cdot 1$

ステップ 3.2.2.3

$5$ に $1$ をかけます。

$1 + 5$

ステップ 3.2.3

$1$ と $5$ をたし算します。

$6$

ステップ 4

微分係数を求め、 $- 1$ で値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1.1

微分します。

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ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 5 (2 x)$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$4 x^{3} + 10 x$

ステップ 4.2

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$4 {(- 1)}^{3} + 10 (- 1)$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot - 1 + 10 (- 1)$

ステップ 4.3.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 + 10 (- 1)$

ステップ 4.3.1.3

$10$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 - 10$

ステップ 4.3.2

$- 4$ から $10$ を引きます。

$- 14$

ステップ 5

成分を線形化関数に代入し、 $a$ における線形化を求めます。

$L (x) = 6 - 14 (x - - 1)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$L (x) = 6 - 14 x - 14 \cdot 1$

ステップ 6.1.2

$- 14$ に $1$ をかけます。

$L (x) = 6 - 14 x - 14$

ステップ 6.2

$6$ から $14$ を引きます。

$L (x) = - 14 x - 8$

ステップ 7

微分積分 例

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