微分積分例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ , $a = 2$

ステップ 1

$a$ で線形化を求めるために使用する関数を考えます。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

ステップ 2

$a = 2$ の値を線形化関数に代入します。

$L (x) = f (2) + f' (2) (x - 2)$

ステップ 3

$f (2)$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

ステップ 3.2

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

括弧を削除します。

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

ステップ 3.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + 21}$

ステップ 3.2.3

$4$ と $21$ をたし算します。

$\sqrt{25}$

ステップ 3.2.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{5^{2}}$

ステップ 3.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$5$

ステップ 4

微分係数を求め、 $2$ で値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 21}$ を ${(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 21$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 21$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

ステップ 4.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

ステップ 4.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 21$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

ステップ 4.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

ステップ 4.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

ステップ 4.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

ステップ 4.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

ステップ 4.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

ステップ 4.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

ステップ 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

ステップ 4.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

ステップ 4.1.8

総和則では、 $x^{2} + 21$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21])$

ステップ 4.1.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [21])$

ステップ 4.1.10

$21$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $21$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 4.1.11

項を簡約します。

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ステップ 4.1.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

ステップ 4.1.11.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 4.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.11.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.11.5

式を書き換えます。

$\frac{x}{{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$\frac{2}{{({(2)}^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{2}{{(4 + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.2

$4$ と $21$ をたし算します。

$\frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 4.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 4.3.5.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{5^{1}}$

ステップ 4.3.6

指数を求めます。

$\frac{2}{5}$

ステップ 5

成分を線形化関数に代入し、 $a$ における線形化を求めます。

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} (x - 2)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

ステップ 6.1.2

$\frac{2}{5}$ と $x$ をまとめます。

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

ステップ 6.1.3

$\frac{2}{5} \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 6.1.3.1

$\frac{2}{5}$ と $- 2$ をまとめます。

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

ステップ 6.1.3.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

ステップ 6.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

ステップ 6.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$L (x) = \frac{2 x}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

ステップ 6.3

$5$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

ステップ 6.4

公分母の分子をまとめます。

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5 - 4}{5}$

ステップ 6.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$5$ に $5$ をかけます。

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{25 - 4}{5}$

ステップ 6.5.2

$25$ から $4$ を引きます。

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{21}{5}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例