微分積分例

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x + 7$

ステップ 1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

ステップ 2

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

ステップ 3

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 3.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 3.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 3.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 3.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 3.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} - 2 + 0$

ステップ 3.4.2

$x^{2} - 2$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 2$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 4.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 4.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 4.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 5

$x = \sqrt{2}$ における元の関数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{2}$ で置換えます。

$f (\sqrt{2}) = \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

ステップ 5.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{8}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

ステップ 5.2.1.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{4 (2)}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

ステップ 5.2.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

ステップ 5.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

ステップ 5.2.2

$- 2 \sqrt{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

ステップ 5.2.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 2 \sqrt{2}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

ステップ 5.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

ステップ 5.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

ステップ 5.2.4.1.2

$2 \sqrt{2}$ から $6 \sqrt{2}$ を引きます。

$f (\sqrt{2}) = \frac{- 4 \sqrt{2}}{3} + 7$

ステップ 5.2.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\sqrt{2}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ です。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

ステップ 6

$x = - \sqrt{2}$ における元の関数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

ステップ 6.2.1.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

ステップ 6.2.1.1.3

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

ステップ 6.2.1.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{8}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

ステップ 6.2.1.1.5

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{4 (2)}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

ステップ 6.2.1.1.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

ステップ 6.2.1.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

ステップ 6.2.1.1.7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

ステップ 6.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

ステップ 6.2.1.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} + 7$

ステップ 6.2.2

$2 \sqrt{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

ステップ 6.2.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2 \sqrt{2}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

ステップ 6.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

ステップ 6.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$3$ に $2$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

ステップ 6.2.4.2

$- 2 \sqrt{2}$ と $6 \sqrt{2}$ をたし算します。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ です。

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

ステップ 7

関数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ の水平接線は $y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ です。

$y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例