微分積分例

$y = x^{3} - 3 x + 1$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} - 3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 3 + 0$

ステップ 2.3.2

$3 x^{2} - 3$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 3$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$3 x^{2} = 3$

ステップ 3.2

$3 x^{2} = 3$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3 x^{2} = 3$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{3}{3}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$3$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 3.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 4

$x = 1$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 1$

ステップ 4.2.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 3 + 1$

ステップ 4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$1$ から $3$ を引きます。

$f (1) = - 2 + 1$

ステップ 4.2.2.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = - 1$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 5

$x = - 1$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ を解きます。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = - 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - 1 + 3 + 1$

ステップ 5.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$f (- 1) = 2 + 1$

ステップ 5.2.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = 3$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 6

関数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ の水平接線は $y = - 1, y = 3$ です。

$y = - 1, y = 3$

ステップ 7

微分積分 例

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