微分積分例

$y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 10 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 10 x + 3 + 0$

ステップ 2.4.2

$3 x^{2} - 10 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} - 10 x + 3$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

群による因数分解。

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ステップ 3.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ で和が $b = - 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1.1

$- 10$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

ステップ 3.1.1.2

$- 10$ を $- 1$ プラス $- 9$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3 = 0$

ステップ 3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3 = 0$

ステップ 3.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3 = 0$

ステップ 3.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = 0$

ステップ 3.1.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 1) (x - 3) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 3.3

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 3.3.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 3.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.5

最終解は $(3 x - 1) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{3}, 3$

ステップ 4

$x = \frac{1}{3}$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

ステップ 4.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

ステップ 4.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

ステップ 4.2.1.4

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

ステップ 4.2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

ステップ 4.2.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 (\frac{1}{9}) + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

ステップ 4.2.1.7

$- 5$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

ステップ 4.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

ステップ 4.2.1.9

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.9.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

ステップ 4.2.1.9.2

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 1 + 1$

ステップ 4.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.2.2.1

$\frac{5}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{5}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

ステップ 4.2.2.3

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

ステップ 4.2.2.4

$\frac{1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

ステップ 4.2.2.5

$\frac{1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

ステップ 4.2.2.6

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

ステップ 4.2.2.7

$\frac{1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 4.2.2.8

$\frac{1}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

ステップ 4.2.2.9

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

ステップ 4.2.2.10

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 5 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

ステップ 4.2.4

式を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$- 5$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 15 + 27 + 27}{27}$

ステップ 4.2.4.2

$1$ から $15$ を引きます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14 + 27 + 27}{27}$

ステップ 4.2.4.3

$- 14$ と $27$ をたし算します。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13 + 27}{27}$

ステップ 4.2.4.4

$13$ と $27$ をたし算します。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

ステップ 4.2.5

最終的な答えは $\frac{40}{27}$ です。

$\frac{40}{27}$

ステップ 5

$x = 3$ における元の関数 $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ を解きます。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = {(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = 27 - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

ステップ 5.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 27 - 5 \cdot 9 + 3 (3) + 1$

ステップ 5.2.1.3

$- 5$ に $9$ をかけます。

$f (3) = 27 - 45 + 3 (3) + 1$

ステップ 5.2.1.4

$3$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 27 - 45 + 9 + 1$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$27$ から $45$ を引きます。

$f (3) = - 18 + 9 + 1$

ステップ 5.2.2.2

$- 18$ と $9$ をたし算します。

$f (3) = - 9 + 1$

ステップ 5.2.2.3

$- 9$ と $1$ をたし算します。

$f (3) = - 8$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 8$ です。

$- 8$

ステップ 6

関数 $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ の水平接線は $y = \frac{40}{27}, y = - 8$ です。

$y = \frac{40}{27}, y = - 8$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例