微分積分例

$f (x) = x \ln (x^{2})$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2.3

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

項を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4.2

$\frac{2}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4.3.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 + \ln (x^{2}) \cdot 1$

ステップ 1.3.6

$\ln (x^{2})$ に $1$ をかけます。

$2 + \ln (x^{2})$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 + \ln (x^{2}) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\ln (x^{2}) = - 2$

ステップ 2.2

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 2}$

ステップ 2.3

対数の定義を利用して $\ln (x^{2}) = - 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 2} = x^{2}$

ステップ 2.4

$x$ について解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式を $x^{2} = e^{- 2}$ として書き換えます。

$x^{2} = e^{- 2}$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{e^{- 2}}$

ステップ 2.4.3

$\pm \sqrt{e^{- 2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$

ステップ 2.4.3.2

$\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$

ステップ 2.4.3.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e^{2}}}$

ステップ 2.4.3.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{1}{e}$

ステップ 2.4.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.4.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{1}{e}$

ステップ 2.4.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{1}{e}$

ステップ 2.4.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

ステップ 3

$x = \frac{1}{e}$ における元の関数 $f (x) = x \ln (x^{2})$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{e}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln ({(\frac{1}{e})}^{2})$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

積の法則を $\frac{1}{e}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

ステップ 3.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{2}$ を分子に移動させます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

ステップ 3.2.3

$\ln (1^{2} e^{- 2})$ を $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ に書き換えます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

ステップ 3.2.4

対数の法則を利用して指数の外に $- 2$ を移動します。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

ステップ 3.2.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

ステップ 3.2.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

ステップ 3.2.7

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.7.1

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (1^{2})$ を展開します。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

ステップ 3.2.7.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

ステップ 3.2.7.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

ステップ 3.2.8

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.8.1

$0$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 2$

ステップ 3.2.8.2

$\frac{1}{e}$ と $- 2$ をまとめます。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e}$

ステップ 3.2.8.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e}$

ステップ 3.2.9

最終的な答えは $- \frac{2}{e}$ です。

$- \frac{2}{e}$

ステップ 4

$x = - \frac{1}{e}$ における元の関数 $f (x) = x \ln (x^{2})$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{e}$ で置換えます。

$f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \ln ({(- \frac{1}{e})}^{2})$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.1.1

積の法則を $- \frac{1}{e}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{e})}^{2})$

ステップ 4.2.1.2

積の法則を $\frac{1}{e}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

ステップ 4.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1 (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

ステップ 4.2.3

$\frac{1^{2}}{e^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

ステップ 4.2.4

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{2}$ を分子に移動させます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

ステップ 4.2.5

$\ln (1^{2} e^{- 2})$ を $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ に書き換えます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

ステップ 4.2.6

対数の法則を利用して指数の外に $- 2$ を移動します。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

ステップ 4.2.7

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

ステップ 4.2.8

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

ステップ 4.2.9

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.9.1

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (1^{2})$ を展開します。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

ステップ 4.2.9.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

ステップ 4.2.9.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

ステップ 4.2.10

$0$ から $2$ を引きます。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot - 2$

ステップ 4.2.11

$- \frac{1}{e} \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 4.2.11.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e})$

ステップ 4.2.11.2

$2$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

ステップ 4.2.12

最終的な答えは $\frac{2}{e}$ です。

$\frac{2}{e}$

ステップ 5

関数 $f (x) = x \ln (x^{2})$ の水平接線は $y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$ です。

$y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$

ステップ 6

微分積分 例

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