微分積分例

$y (x) = x^{4} - 4 x + 4$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 4 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} - 4 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 4 + 0$

ステップ 1.3.2

$4 x^{3} - 4$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} - 4$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$4 x^{3} = 4$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$4 x^{3} - 4 = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$4$ を $4 x^{3} - 4$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.1.1

$4$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) - 4 = 0$

ステップ 2.3.1.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) + 4 (- 1) = 0$

ステップ 2.3.1.3

$4$ を $4 (x^{3}) + 4 (- 1)$ で因数分解します。

$4 (x^{3} - 1) = 0$

ステップ 2.3.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$4 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

ステップ 2.3.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$4 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.3.4

因数分解。

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ステップ 2.3.4.1

簡約します。

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ステップ 2.3.4.1.1

$x$ に $1$ をかけます。

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.3.4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

ステップ 2.3.4.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

ステップ 2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

$x^{2} + x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x^{2} + x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 2.6.2

$x$ について $x^{2} + x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3

簡約します。

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ステップ 2.6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.6.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.6.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.6.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.6.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.6.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.6.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.7

最終解は $4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

$x = 1$ における元の関数 $f (x) = x^{4} - 4 x + 4$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{4} - 4 \cdot 1 + 4$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 4$

ステップ 3.2.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 4 + 4$

ステップ 3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$1$ から $4$ を引きます。

$f (1) = - 3 + 4$

ステップ 3.2.2.2

$- 3$ と $4$ をたし算します。

$f (1) = 1$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 4

虚点で正接線を求めることはできません。 $x = 1$ の点は実座標系に存在しません。

根 $1$ から正切を求めることはできません。

ステップ 5

関数 $f (x) = x^{4} - 4 x + 4$ の水平接線は $y = 1$ です。

$y = 1$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例