微分積分例

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{4} - 4 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 8 x + 0$

ステップ 2.3.2

$4 x^{3} - 8 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} - 8 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 8 x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

ステップ 3.1.2

$4 x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

ステップ 3.1.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.4

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 3.4.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 3.4.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 3.4.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 3.5

最終解は $4 x (x^{2} - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 4

$x = 0$ における元の関数 $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

ステップ 4.2.1.3

$- 4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

ステップ 4.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 5

$x = \sqrt{2}$ における元の関数 $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ を解きます。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{2}$ で置換えます。

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

${\sqrt{2}}^{4}$ を $2^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

ステップ 5.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

ステップ 5.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

ステップ 5.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

ステップ 5.2.1.3.5

指数を求めます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

ステップ 5.2.1.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8 + 1$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ から $8$ を引きます。

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 1$

ステップ 5.2.2.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f (\sqrt{2}) = - 3$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 6

関数 $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ の水平接線は $y = 1, y = - 3, y = - 3$ です。

$y = 1, y = - 3, y = - 3$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例