微分積分例

$y = x^{4} - 2 x + 1$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = x^{4} - 2 x + 1$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{4} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 2 + 0$

ステップ 2.3.2

$4 x^{3} - 2$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} - 2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$4 x^{3} = 2$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$4 x^{3} - 2 = 0$

ステップ 3.3

$2$ を $4 x^{3} - 2$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (2 x^{3}) - 2 = 0$

ステップ 3.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

ステップ 3.3.3

$2$ を $2 (2 x^{3}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$

ステップ 3.4

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

$2 x^{3} - 1$ を $1$ で割ります。

$2 x^{3} - 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$2 x^{3} - 1 = 0$

ステップ 3.5

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x^{3} = 1$

ステップ 3.6

$2 x^{3} = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2 x^{3} = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.6.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.8

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

ステップ 3.8.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

ステップ 3.8.3

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.8.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.8.4.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.8.4.2

$\sqrt[3]{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.8.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.8.4.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

ステップ 3.8.4.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.8.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2}$ を $2^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.8.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.8.4.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.8.4.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.8.4.5.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.8.4.5.5

指数を求めます。

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

ステップ 3.8.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.8.5.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ を $\sqrt[3]{2^{2}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

ステップ 3.8.5.2

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

ステップ 4

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ における元の関数 $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{4}}^{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

ステップ 4.2.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1.2.1

${\sqrt[3]{4}}^{4}$ を $\sqrt[3]{4^{4}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{4}}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

ステップ 4.2.1.2.2

$4$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{256}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

ステップ 4.2.1.2.3

$256$ を $4^{3} \cdot 4$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.1.2.3.1

$64$ を $256$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{64 (4)}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

ステップ 4.2.1.2.3.2

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

ステップ 4.2.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

ステップ 4.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

ステップ 4.2.1.4

$4$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.4.1

$4$ を $4 \sqrt[3]{4}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 (\sqrt[3]{4})}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

ステップ 4.2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.4.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

ステップ 4.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

ステップ 4.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

ステップ 4.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.5.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

ステップ 4.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

ステップ 4.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 1 \sqrt[3]{4} + 1$

ステップ 4.2.1.6

$- 1 \sqrt[3]{4}$ を $- \sqrt[3]{4}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} + 1$

ステップ 4.2.2

$- \sqrt[3]{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} \cdot \frac{4}{4} + 1$

ステップ 4.2.3

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.3.1

$- \sqrt[3]{4}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + \frac{- \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

ステップ 4.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

ステップ 4.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

ステップ 4.2.4.1.2

$\sqrt[3]{4}$ から $4 \sqrt[3]{4}$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

ステップ 4.2.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

ステップ 4.2.5

最終的な答えは $- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ です。

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

ステップ 5

関数 $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ の水平接線は $y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ です。

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

10進法形式：

$y = - 0.19055078 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例