微分積分例

$y = 1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$

ステップ 1

$1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$1$ を移動させます。

$y = 40 x^{3} - 3 x^{5} + 1$

ステップ 1.2

$40 x^{3}$ と $- 3 x^{5}$ を並べ替えます。

$y = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

ステップ 2

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

ステップ 3

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{5}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.2.3

$5$ に $- 3$ をかけます。

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$40$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $40 x^{3}$ の微分係数は $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.3.3

$3$ に $40$ をかけます。

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 0$

ステップ 3.4.2

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 15 x^{4} + 120 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 120 x^{2} = 0$

ステップ 4.1.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 15 u^{2} + 120 u = 0$

ステップ 4.1.3

$15 u$ を $- 15 u^{2} + 120 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$15 u$ を $- 15 u^{2}$ で因数分解します。

$15 u (- u) + 120 u = 0$

ステップ 4.1.3.2

$15 u$ を $120 u$ で因数分解します。

$15 u (- u) + 15 u (8) = 0$

ステップ 4.1.3.3

$15 u$ を $15 u (- u) + 15 u (8)$ で因数分解します。

$15 u (- u + 8) = 0$

ステップ 4.1.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 8 = 0$

ステップ 4.3

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.3.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.4

$- x^{2} + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$- x^{2} + 8$ が $0$ に等しいとします。

$- x^{2} + 8 = 0$

ステップ 4.4.2

$x$ について $- x^{2} + 8 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$- x^{2} = - 8$

ステップ 4.4.2.2

$- x^{2} = - 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.4.2.2.1

$- x^{2} = - 8$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 4.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 4.4.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 4.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.3.1

$- 8$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 8$

ステップ 4.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

ステップ 4.4.2.4

$\pm \sqrt{8}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.4.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.4.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

ステップ 4.4.2.4.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 4.4.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

ステップ 4.4.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 \sqrt{2}$

ステップ 4.4.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 \sqrt{2}$

ステップ 4.4.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

ステップ 4.5

最終解は $15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

ステップ 5

$x = 0$ における元の関数 $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - 3 {(0)}^{5} + 40 {(0)}^{3} + 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

ステップ 5.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 40 \cdot 0 + 1$

ステップ 5.2.1.4

$40$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

ステップ 5.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 5.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 6

$x = 2 \sqrt{2}$ における元の関数 $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2 \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 {(2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (2^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 6.2.1.2

$2$ を $5$ 乗します。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 6.2.1.3

${\sqrt{2}}^{5}$ を $\sqrt{2^{5}}$ に書き換えます。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 6.2.1.4

$2$ を $5$ 乗します。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{32}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 6.2.1.5

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.5.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 6.2.1.5.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 6.2.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 6.2.1.7

$4$ に $32$ をかけます。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (128 \sqrt{2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 6.2.1.8

$128$ に $- 3$ をかけます。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 6.2.1.9

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (2^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

ステップ 6.2.1.10

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

ステップ 6.2.1.11

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

ステップ 6.2.1.12

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{8}) + 1$

ステップ 6.2.1.13

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.13.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

ステップ 6.2.1.13.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

ステップ 6.2.1.14

累乗根の下から項を取り出します。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 (2 \sqrt{2})) + 1$

ステップ 6.2.1.15

$2$ に $8$ をかけます。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (16 \sqrt{2}) + 1$

ステップ 6.2.1.16

$16$ に $40$ をかけます。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 640 \sqrt{2} + 1$

ステップ 6.2.2

$- 384 \sqrt{2}$ と $640 \sqrt{2}$ をたし算します。

$f (2 \sqrt{2}) = 256 \sqrt{2} + 1$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $256 \sqrt{2} + 1$ です。

$256 \sqrt{2} + 1$

ステップ 7

$x = - 2 \sqrt{2}$ における元の関数 $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 2 \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

積の法則を $- 2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 ({(- 2)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ を $5$ 乗します。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 7.2.1.3

${\sqrt{2}}^{5}$ を $\sqrt{2^{5}}$ に書き換えます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 7.2.1.4

$2$ を $5$ 乗します。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{32}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 7.2.1.5

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.5.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 7.2.1.5.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 7.2.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 7.2.1.7

$4$ に $- 32$ をかけます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 128 \sqrt{2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 7.2.1.8

$- 128$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

ステップ 7.2.1.9

積の法則を $- 2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 ({(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

ステップ 7.2.1.10

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

ステップ 7.2.1.11

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

ステップ 7.2.1.12

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{8}) + 1$

ステップ 7.2.1.13

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.13.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

ステップ 7.2.1.13.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

ステップ 7.2.1.14

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 (2 \sqrt{2})) + 1$

ステップ 7.2.1.15

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 16 \sqrt{2}) + 1$

ステップ 7.2.1.16

$- 16$ に $40$ をかけます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} - 640 \sqrt{2} + 1$

ステップ 7.2.2

$384 \sqrt{2}$ から $640 \sqrt{2}$ を引きます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 256 \sqrt{2} + 1$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 256 \sqrt{2} + 1$ です。

$- 256 \sqrt{2} + 1$

ステップ 8

関数 $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ の水平接線は $y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$ です。

$y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例