微分積分例

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

ステップ 1.1.2.4

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

ステップ 1.1.2.4.2

$2$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

ステップ 1.1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ です。

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x}{x^{2} + 1} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 2.3

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\ln (x^{2} + 1)$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\ln ({(0)}^{2} + 1)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\ln (0 + 1)$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\ln (1)$

ステップ 4.1.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例