微分積分例

$y = 8 x^{2} + 5 x - 9$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = 8 x^{2} + 5 x - 9$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $8 x^{2} + 5 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $8$ をかけます。

$16 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$16 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$16 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$16 x + 5 + 0$

ステップ 2.4.2

$16 x + 5$ と $0$ をたし算します。

$16 x + 5$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $16 x + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$16 x = - 5$

ステップ 3.2

$16 x = - 5$ の各項を $16$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$16 x = - 5$ の各項を $16$ で割ります。

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 5}{16}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 5}{16}$

ステップ 3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{16}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{16}$

ステップ 4

$x = - \frac{5}{16}$ における元の関数 $f (x) = 8 x^{2} + 5 x - 9$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- \frac{5}{16}$ で置換えます。

$f (- \frac{5}{16}) = 8 {(- \frac{5}{16})}^{2} + 5 (- \frac{5}{16}) - 9$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{5}{16}$ に当てはめます。

$f (- \frac{5}{16}) = 8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{16})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{16}) - 9$

ステップ 4.2.1.1.2

積の法則を $\frac{5}{16}$ に当てはめます。

$f (- \frac{5}{16}) = 8 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{16^{2}})) + 5 (- \frac{5}{16}) - 9$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{5}{16}) = 8 (1 (\frac{5^{2}}{16^{2}})) + 5 (- \frac{5}{16}) - 9$

ステップ 4.2.1.3

$\frac{5^{2}}{16^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{5}{16}) = 8 (\frac{5^{2}}{16^{2}}) + 5 (- \frac{5}{16}) - 9$

ステップ 4.2.1.4

$5$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{5}{16}) = 8 (\frac{25}{16^{2}}) + 5 (- \frac{5}{16}) - 9$

ステップ 4.2.1.5

$16$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{5}{16}) = 8 (\frac{25}{256}) + 5 (- \frac{5}{16}) - 9$

ステップ 4.2.1.6

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.6.1

$8$ を $256$ で因数分解します。

$f (- \frac{5}{16}) = 8 (\frac{25}{8 (32)}) + 5 (- \frac{5}{16}) - 9$

ステップ 4.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{5}{16}) = 8 (\frac{25}{8 \cdot 32}) + 5 (- \frac{5}{16}) - 9$

ステップ 4.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25}{32} + 5 (- \frac{5}{16}) - 9$

ステップ 4.2.1.7

$5 (- \frac{5}{16})$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.7.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25}{32} - 5 (\frac{5}{16}) - 9$

ステップ 4.2.1.7.2

$- 5$ と $\frac{5}{16}$ をまとめます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25}{32} + \frac{- 5 \cdot 5}{16} - 9$

ステップ 4.2.1.7.3

$- 5$ に $5$ をかけます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25}{32} + \frac{- 25}{16} - 9$

ステップ 4.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25}{32} - \frac{25}{16} - 9$

ステップ 4.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.2.2.1

$\frac{25}{16}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25}{32} - (\frac{25}{16} \cdot \frac{2}{2}) - 9$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{25}{16}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25}{32} - \frac{25 \cdot 2}{16 \cdot 2} - 9$

ステップ 4.2.2.3

$- 9$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25}{32} - \frac{25 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{- 9}{1}$

ステップ 4.2.2.4

$\frac{- 9}{1}$ に $\frac{32}{32}$ をかけます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25}{32} - \frac{25 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{32}{32}$

ステップ 4.2.2.5

$\frac{- 9}{1}$ に $\frac{32}{32}$ をかけます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25}{32} - \frac{25 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{- 9 \cdot 32}{32}$

ステップ 4.2.2.6

$16 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25}{32} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{- 9 \cdot 32}{32}$

ステップ 4.2.2.7

$2$ に $16$ をかけます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25}{32} - \frac{25 \cdot 2}{32} + \frac{- 9 \cdot 32}{32}$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 9 \cdot 32}{32}$

ステップ 4.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$- 25$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25 - 50 - 9 \cdot 32}{32}$

ステップ 4.2.4.2

$- 9$ に $32$ をかけます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{25 - 50 - 288}{32}$

ステップ 4.2.5

式を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$25$ から $50$ を引きます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{- 25 - 288}{32}$

ステップ 4.2.5.2

$- 25$ から $288$ を引きます。

$f (- \frac{5}{16}) = \frac{- 313}{32}$

ステップ 4.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{5}{16}) = - \frac{313}{32}$

ステップ 4.2.6

最終的な答えは $- \frac{313}{32}$ です。

$- \frac{313}{32}$

ステップ 5

関数 $f (x) = 8 x^{2} + 5 x - 9$ の水平接線は $y = - \frac{313}{32}$ です。

$y = - \frac{313}{32}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例