微分積分例

$f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $5 x^{2} - 4 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$10 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$10 x - 4 + 0$

ステップ 1.4.2

$10 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$10 x - 4$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $10 x - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$10 x = 4$

ステップ 2.2

$10 x = 4$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$10 x = 4$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 x}{10} = \frac{4}{10}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 x}{10} = \frac{4}{10}$

ステップ 2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{10}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$4$ と $10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2)}{10}$

ステップ 2.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

ステップ 2.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

ステップ 2.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{5}$

ステップ 3

$x = \frac{2}{5}$ における元の関数 $f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $\frac{2}{5}$ で置換えます。

$f (\frac{2}{5}) = 5 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $\frac{2}{5}$ に当てはめます。

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

ステップ 3.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5^{2}}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

ステップ 3.2.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{25}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

ステップ 3.2.1.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.4.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 (5)}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

ステップ 3.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 \cdot 5}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

ステップ 3.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

ステップ 3.2.1.5

$- 4 (\frac{2}{5})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.5.1

$- 4$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} + 3$

ステップ 3.2.1.5.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 8}{5} + 3$

ステップ 3.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} + 3$

ステップ 3.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2}{5}) = 3 + \frac{4 - 8}{5}$

ステップ 3.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$4$ から $8$ を引きます。

$f (\frac{2}{5}) = 3 + \frac{- 4}{5}$

ステップ 3.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{2}{5}) = 3 - \frac{4}{5}$

ステップ 3.2.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (\frac{2}{5}) = 3 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

ステップ 3.2.4

$3$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

ステップ 3.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 5 - 4}{5}$

ステップ 3.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$3$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{15 - 4}{5}$

ステップ 3.2.6.2

$15$ から $4$ を引きます。

$f (\frac{2}{5}) = \frac{11}{5}$

ステップ 3.2.7

最終的な答えは $\frac{11}{5}$ です。

$\frac{11}{5}$

ステップ 4

関数 $f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$ の水平接線は $y = \frac{11}{5}$ です。

$y = \frac{11}{5}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例