微分積分例

$y = x^{4} - 3 x + 2$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = x^{4} - 3 x + 2$

ステップ 2

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{4} - 3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 3 + 0$

ステップ 2.3.2

$4 x^{3} - 3$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} - 3$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$4 x^{3} = 3$

ステップ 3.2

$4 x^{3} = 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4 x^{3} = 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 3.2.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{3}{4}$

ステップ 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ を $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

ステップ 3.4.2

$\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.3.2

$\sqrt[3]{4}$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

ステップ 3.4.3.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ を $4$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4}$ を $4^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.4.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.3.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.3.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.5.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.3.5.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

ステップ 3.4.3.5.5

指数を求めます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

ステップ 3.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ を $\sqrt[3]{4^{2}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

ステップ 3.4.4.2

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

ステップ 3.4.4.3

$16$ を $2^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

ステップ 3.4.4.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.4.4.4

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

ステップ 3.4.4.5

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.4.4.5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

ステップ 3.4.5

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$2$ を $2 \sqrt[3]{6}$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

ステップ 3.4.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4.5.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4.5.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

ステップ 4

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ における元の関数 $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

${\sqrt[3]{6}}^{4}$ を $\sqrt[3]{6^{4}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2.2

$6$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2.3

$1296$ を $6^{3} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.3.1

$216$ を $1296$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2.3.2

$216$ を $6^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.4

$6$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.1

$2$ を $6 \sqrt[3]{6}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.5

$- 3$ と $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{- 3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

ステップ 4.2.2

$- \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

ステップ 4.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

ステップ 4.2.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

ステップ 4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

ステップ 4.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1.1

$4$ に $- 3$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

ステップ 4.2.5.1.2

$3 \sqrt[3]{6}$ から $12 \sqrt[3]{6}$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

ステップ 4.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

ステップ 4.2.6

最終的な答えは $- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ です。

$- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

ステップ 5

関数 $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ の水平接線は $y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ です。

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

10進法形式：

$y = - 0.04426066 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例