微分積分例

$f (x) = x^{2} + \ln (x)$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{2} + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 x + \frac{1}{x}$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x + \frac{1}{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x, 1$

ステップ 2.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 2.2

$2 x + \frac{1}{x} = 0$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.2.1

$2 x + \frac{1}{x} = 0$ の各項に $x$ を掛けます。

$2 x \cdot x + \frac{1}{x} x = 0 x$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$2 (x \cdot x) + \frac{1}{x} x = 0 x$

ステップ 2.2.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

ステップ 2.2.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

ステップ 2.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$2 x^{2} + 1 = 0 x$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$0$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.3

方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x^{2} = - 1$

ステップ 2.3.2

$2 x^{2} = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2 x^{2} = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- \frac{1}{2}$ を $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.4.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.4.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

ステップ 2.3.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

ステップ 2.3.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.4.4

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.3.4.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.3.4.6

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 2.3.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.3.4.7.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.3.4.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 2.3.4.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 2.3.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.3.4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 2.3.4.7.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.4.8

$i$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3

虚点で正接線を求めることはできません。 $x =$ の点は実座標系に存在しません。

根から正切を求めることはできません。

ステップ 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{2} + \ln (x)$ .

No horizontal tangent lines

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例