微分積分例

$f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$6 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $5$ をかけます。

$6 x^{5} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{5} + 15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5} + 15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + 0$

ステップ 1.4.2

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$

ステップ 2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 1.39902337, 0, 0.13320739$

ステップ 3

$x = - 1.39902337$ における元の関数 $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- 1.39902337$ で置換えます。

$f (- 1.39902337) = {(- 1.39902337)}^{6} + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$- 1.39902337$ を $6$ 乗します。

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

ステップ 3.2.1.2

$- 1.39902337$ を $3$ 乗します。

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 \cdot - 2.73826144 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

ステップ 3.2.1.3

$5$ に $- 2.73826144$ をかけます。

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

ステップ 3.2.1.4

$- 1.39902337$ を $2$ 乗します。

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1 \cdot 1.9572664 + 9$

ステップ 3.2.1.5

$- 1$ に $1.9572664$ をかけます。

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1.9572664 + 9$

ステップ 3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$7.49807575$ から $13.69130723$ を引きます。

$f (- 1.39902337) = - 6.19323148 - 1.9572664 + 9$

ステップ 3.2.2.2

$- 6.19323148$ から $1.9572664$ を引きます。

$f (- 1.39902337) = - 8.15049788 + 9$

ステップ 3.2.2.3

$- 8.15049788$ と $9$ をたし算します。

$f (- 1.39902337) = 0.84950211$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $0.84950211$ です。

$0.84950211$

ステップ 4

$x = 0$ における元の関数 $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

ステップ 4.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 9$

ステップ 4.2.1.3

$5$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - {(0)}^{2} + 9$

ステップ 4.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 - 0 + 9$

ステップ 4.2.1.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 9$

ステップ 4.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0 + 9$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 9$

ステップ 4.2.2.3

$0$ と $9$ をたし算します。

$f (0) = 9$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $9$ です。

$9$

ステップ 5

$x = 0.13320739$ における元の関数 $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ を解きます。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0.13320739$ で置換えます。

$f (0.13320739) = {(0.13320739)}^{6} + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$0.13320739$ を $6$ 乗します。

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

ステップ 5.2.1.2

$0.13320739$ を $3$ 乗します。

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 \cdot 0.00236365 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

ステップ 5.2.1.3

$5$ に $0.00236365$ をかけます。

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

ステップ 5.2.1.4

$0.13320739$ を $2$ 乗します。

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 1 \cdot 0.0177442 + 9$

ステップ 5.2.1.5

$- 1$ に $0.0177442$ をかけます。

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 0.0177442 + 9$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$0.00000558$ と $0.01181829$ をたし算します。

$f (0.13320739) = 0.01182388 - 0.0177442 + 9$

ステップ 5.2.2.2

$0.01182388$ から $0.0177442$ を引きます。

$f (0.13320739) = - 0.00592032 + 9$

ステップ 5.2.2.3

$- 0.00592032$ と $9$ をたし算します。

$f (0.13320739) = 8.99407967$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $8.99407967$ です。

$8.99407967$

ステップ 6

関数 $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ の水平接線は $y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$ です。

$y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例