微分積分例

$f (x) = 8 x^{2} + 6 x + 1$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $8 x^{2} + 6 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $8$ をかけます。

$16 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$16 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$16 x + 6 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$16 x + 6 + 0$

ステップ 1.4.2

$16 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$16 x + 6$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $16 x + 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$16 x = - 6$

ステップ 2.2

$16 x = - 6$ の各項を $16$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$16 x = - 6$ の各項を $16$ で割ります。

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 6}{16}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 6}{16}$

ステップ 2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 6}{16}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 6$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- 3)}{16}$

ステップ 2.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1.2.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 8}$

ステップ 2.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 8}$

ステップ 2.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{- 3}{8}$

ステップ 2.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{8}$

ステップ 3

$x = - \frac{3}{8}$ における元の関数 $f (x) = 8 x^{2} + 6 x + 1$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{8}$ で置換えます。

$f (- \frac{3}{8}) = 8 {(- \frac{3}{8})}^{2} + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{8}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{8}) = 8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{8})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

ステップ 3.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{8}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{8}) = 8 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{8^{2}})) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (1 (\frac{3^{2}}{8^{2}})) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

ステップ 3.2.1.3

$\frac{3^{2}}{8^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{3^{2}}{8^{2}}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

ステップ 3.2.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{8^{2}}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

ステップ 3.2.1.5

$8$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{64}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

ステップ 3.2.1.6

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.6.1

$8$ を $64$ で因数分解します。

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{8 (8)}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

ステップ 3.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{8 \cdot 8}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

ステップ 3.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

ステップ 3.2.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.7.1

$- \frac{3}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 6 (\frac{- 3}{8}) + 1$

ステップ 3.2.1.7.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 2 (3) (\frac{- 3}{8}) + 1$

ステップ 3.2.1.7.3

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 4})) + 1$

ステップ 3.2.1.7.4

共通因数を約分します。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 4})) + 1$

ステップ 3.2.1.7.5

式を書き換えます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 3 (\frac{- 3}{4}) + 1$

ステップ 3.2.1.8

$3$ と $\frac{- 3}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + \frac{3 \cdot - 3}{4} + 1$

ステップ 3.2.1.9

$3$ に $- 3$ をかけます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} + 1$

ステップ 3.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 1$

ステップ 3.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{9}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{9}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

ステップ 3.2.2.3

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

ステップ 3.2.2.4

$\frac{1}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 3.2.2.5

$\frac{1}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

ステップ 3.2.2.6

$4 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

ステップ 3.2.2.7

$2$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

ステップ 3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 8}{8}$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9 - 18 + 8}{8}$

ステップ 3.2.4.2

$9$ から $18$ を引きます。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{- 9 + 8}{8}$

ステップ 3.2.4.3

$- 9$ と $8$ をたし算します。

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{- 1}{8}$

ステップ 3.2.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{3}{8}) = - \frac{1}{8}$

ステップ 3.2.5

最終的な答えは $- \frac{1}{8}$ です。

$- \frac{1}{8}$

ステップ 4

関数 $f (x) = 8 x^{2} + 6 x + 1$ の水平接線は $y = - \frac{1}{8}$ です。

$y = - \frac{1}{8}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例