微分積分例

$f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $4 x - 4 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 \sin (x)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$4 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$4 - 4 \cos (x)$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 - 4 \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- 4 \cos (x) = - 4$

ステップ 2.2

$- 4 \cos (x) = - 4$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 4 \cos (x) = - 4$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

ステップ 2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 4}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 4$ を $- 4$ で割ります。

$\cos (x) = 1$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 2.6

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.9

答えをまとめます。

$x = 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$x = 2 π$ における元の関数 $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ を解きます。

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ステップ 3.1

$f (2 π) = 4 (2 π) - 4 \sin (2 π)$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (2 π)$

ステップ 3.2.1.2

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (0)$

ステップ 3.2.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (2 π) = 8 π - 4 \cdot 0$

ステップ 3.2.1.4

$- 4$ に $0$ をかけます。

$f (2 π) = 8 π + 0$

ステップ 3.2.2

$8 π$ と $0$ をたし算します。

$f (2 π) = 8 π$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $8 π$ です。

$8 π$

ステップ 4

関数 $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ の水平接線は $y = x = 2 π n, y = 8 π$ です。

$y = x = 2 π n, y = 8 π$

ステップ 5

微分積分 例

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