微分積分例

$f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $6 x^{2} - 4 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$12 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$12 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$12 x - 4 + 0$

ステップ 1.4.2

$12 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$12 x - 4$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$12 x = 4$

ステップ 2.2

$12 x = 4$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$12 x = 4$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

ステップ 2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{12}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$4$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{4 (1)}{12}$

ステップ 2.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 3

$x = \frac{1}{3}$ における元の関数 $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{3}) = 6 {(\frac{1}{3})}^{2} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

ステップ 3.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

ステップ 3.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

ステップ 3.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.4.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{3}) = 3 (2) (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

ステップ 3.2.1.4.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

ステップ 3.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

ステップ 3.2.1.4.4

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{3}) = 2 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

ステップ 3.2.1.5

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

ステップ 3.2.1.6

$- 4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{- 4}{3} + 5$

ステップ 3.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 5$

ステップ 3.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{2 - 4}{3}$

ステップ 3.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$2$ から $4$ を引きます。

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{3}) = 5 - \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.3

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{1}{3}) = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.4

$5$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 3.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3}$

ステップ 3.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$5$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{15 - 2}{3}$

ステップ 3.2.6.2

$15$ から $2$ を引きます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}$

ステップ 3.2.7

最終的な答えは $\frac{13}{3}$ です。

$\frac{13}{3}$

ステップ 4

関数 $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ の水平接線は $y = \frac{13}{3}$ です。

$y = \frac{13}{3}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例