微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $9$ をかけます。

$6 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 60 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$- 60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 60 x$ の微分係数は $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} + 18 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 18 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.4.3

$- 60$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} + 18 x - 60 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.5.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{2} + 18 x - 60 + 0$

ステップ 1.5.2

$6 x^{2} + 18 x - 60$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{2} + 18 x - 60$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} + 18 x - 60 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$6$ を $6 x^{2} + 18 x - 60$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 18 x - 60 = 0$

ステップ 2.1.1.2

$6$ を $18 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (3 x) - 60 = 0$

ステップ 2.1.1.3

$6$ を $- 60$ で因数分解します。

$6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

ステップ 2.1.1.4

$6$ を $6 x^{2} + 6 (3 x)$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$6$ を $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot - 10$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + 3 x - 10) = 0$

ステップ 2.1.2

因数分解。

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ステップ 2.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 10$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $3$ です。

$- 2, 5$

ステップ 2.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x - 2) (x + 5)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (x - 2) (x + 5) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 2.3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.4

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.5

最終解は $6 (x - 2) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 5$

ステップ 3

$x = 2$ における元の関数 $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 2 {(2)}^{3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

指数を足して $2$ に ${(2)}^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

$2$ に ${(2)}^{3}$ をかけます。

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ステップ 3.2.1.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$f (2) = 2 {(2)}^{3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

ステップ 3.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (2) = 2^{1 + 3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

ステップ 3.2.1.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f (2) = 2^{4} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

ステップ 3.2.1.2

$2$ を $4$ 乗します。

$f (2) = 16 + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

ステップ 3.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 16 + 9 \cdot 4 - 60 \cdot 2 + 4$

ステップ 3.2.1.4

$9$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 16 + 36 - 60 \cdot 2 + 4$

ステップ 3.2.1.5

$- 60$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 16 + 36 - 120 + 4$

ステップ 3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$16$ と $36$ をたし算します。

$f (2) = 52 - 120 + 4$

ステップ 3.2.2.2

$52$ から $120$ を引きます。

$f (2) = - 68 + 4$

ステップ 3.2.2.3

$- 68$ と $4$ をたし算します。

$f (2) = - 64$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $- 64$ です。

$- 64$

ステップ 4

$x = - 5$ における元の関数 $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{3} + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 5$ を $3$ 乗します。

$f (- 5) = 2 \cdot - 125 + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

ステップ 4.2.1.2

$2$ に $- 125$ をかけます。

$f (- 5) = - 250 + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

ステップ 4.2.1.3

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5) = - 250 + 9 \cdot 25 - 60 \cdot - 5 + 4$

ステップ 4.2.1.4

$9$ に $25$ をかけます。

$f (- 5) = - 250 + 225 - 60 \cdot - 5 + 4$

ステップ 4.2.1.5

$- 60$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 5) = - 250 + 225 + 300 + 4$

ステップ 4.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 250$ と $225$ をたし算します。

$f (- 5) = - 25 + 300 + 4$

ステップ 4.2.2.2

$- 25$ と $300$ をたし算します。

$f (- 5) = 275 + 4$

ステップ 4.2.2.3

$275$ と $4$ をたし算します。

$f (- 5) = 279$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $279$ です。

$279$

ステップ 5

関数 $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ の水平接線は $y = - 64, y = 279$ です。

$y = - 64, y = 279$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例