微分積分例

$\csc (x)$

ステップ 1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$- \csc (x) \cot (x)$

ステップ 1.2

$- \csc (x) \cot (x)$ の因数を並べ替えます。

$- \cot (x) \csc (x)$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \cot (x) \csc (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

ステップ 2.2

$\cot (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\cot (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (x) = 0$

ステップ 2.2.2

$x$ について $\cot (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (0)$

ステップ 2.2.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$arccot (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.2.2.3

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{2}$

ステップ 2.2.2.4

$π + \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 2.2.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.4.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 2.2.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 2.2.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.4.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

ステップ 2.2.2.4.3.2

$2 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.2.2.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.2.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.2.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.2.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.2.2.6

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.3

$\csc (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\csc (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\csc (x) = 0$

ステップ 2.3.2

余割の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 2.4

最終解は $- \cot (x) \csc (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$x = \frac{π}{2}$ における元の関数 $f (x) = \csc (x)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 1$

ステップ 3.2.2

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 4

$x = \frac{π}{2} + π$ における元の関数 $f (x) = \csc (x)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2} + π$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 4.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

ステップ 4.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

ステップ 4.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

ステップ 4.2.3.2

$π$ と $2 π$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})$

ステップ 4.2.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{π}{2} + π) = - \csc (\frac{π}{2})$

ステップ 4.2.5

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

ステップ 4.2.7

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 5

関数 $f (x) = \csc (x)$ の水平接線は $y = 1, y = - 1$ です。

$y = 1, y = - 1$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例