微分積分例

$2 \cos (2 x)$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (2 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \sin (2 x) \cdot 1$

ステップ 1.3.5

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4 \sin (2 x)$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 \sin (2 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

$- 4 \sin (2 x) = 0$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1.1

$- 4 \sin (2 x) = 0$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

ステップ 2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

ステップ 2.1.2.1.2

$\sin (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 4}$

ステップ 2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.3.1

$0$ を $- 4$ で割ります。

$\sin (2 x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (0)$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 x = 0$

ステップ 2.4

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - 0$

ステップ 2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 2.6.1

簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 x = π + 0$

ステップ 2.6.1.2

$π$ と $0$ をたし算します。

$2 x = π$

ステップ 2.6.2

$2 x = π$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

$2 x = π$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.6.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.6.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.7

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.7.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.7.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.8

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.9

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$x = \frac{π}{2}$ における元の関数 $f (x) = 2 \cos (2 x)$ を解きます。

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ステップ 3.1

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (π)$

ステップ 3.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- \cos (0))$

ステップ 3.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 3.2.4

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 3.2.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot - 1$

ステップ 3.2.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = - 2$

ステップ 3.2.5

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 4

関数 $f (x) = 2 \cos (2 x)$ の水平接線は $y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$ です。

$y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例